МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМО- И ГИДРОДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ В КОЛЛЕКТОРЕ ГЕЛИОУСТАНОВКИ
- Основные проблемы математического моделирования
Создание и развитие математического моделирования обусловлено появлением электронно-вычислительных машин, способных производить арифметические и логические вычисления с колоссальной скоростью. Необходимость решения все более сложных задач науки, техники и народного хозяйства потребовала разработки и обоснования математических моделей, отражающих основные закономерности исследуемых явлений, и создания экономичных численных алгоритмов их решения. Эффективная реализация этих алгоритмов, в свою очередь, не только потребовала разработки и создания новых ЭВМ, но и стимулировала исследования по созданию новых языков программирования, операционных систем и систем поддержки программного обеспечения, а также новых подходов в программировании и информационных технологиях. Все это позволило перейти от использования ЭВМ как скоростного вычислителя к системе моделирования, включающей весь процесс от разработки математических моделей, численных алгоритмов, программирования до создания комплексов и пакетов программ для решения задач, анализа результатов, вывода, хранения их, что является содержанием нового научного направления — математического моделирования [77-81].
Математическое моделирование наряду с физическим и натурным экспериментами является основным способом исследования и получения новых знаний в различных областях естествознания. Можно ожидать, что его роль в дальнейшем возрастет, но оно не заменит физический или натурный эксперимент, так как опыт всегда остается основой исследования.
Для задач механики сплошных сред в наиболее полной постановке физико-математические модели могут быть описаны интегральными законами сохранения, выражающими связь между изменением во времени в замкнутом объеме V некоторых величин (потоков) и их изменением при переходе через границы S, а также взаимодействие потоков с внешними источниками или стоками
(2.69)
Интегральные законы сохранения (например, массы, импульсов и энергии для моделей сплошной среды) являются наиболее общей формой описания движения сред и справедливы как для непрерывных, так и для разрывных решений. Наряду с интегральной формой используется их дифференциальное представление
полученное из (2.69), но справедливое лишь для непрерывных решений.
Полученные уравнения могут быть уравнениями различного типа (гиперболическими, параболическими, эллиптическими или уравнениями переменного типа), что приводит к различным постановкам начальных и краевых задач. Более того, при исследовании одного класса задач тип уравнений может изменяться в зависимости от характера решения.
Создание моделей, адекватно описывающих исследуемое явление или изучаемый процесс, включает их математическое обоснование и корректную постановку начально-краевых задач. В соответствии с современными представлениями все классы моделей для задач механики могут быть условно разделены на четыре группы (уровня):
- аналитические приближения и линеаризованные уравнения;
- нелинейные уравнения без учета диссипативных процессов;
- нелинейные уравнения с учетом диссипативных процессов;
- полные нестационарные модели, описываемые уравнениями с учетом реальных эффектов (типа уравнений Навье—Стокса с учетом сжимаемости и теплопроводности, турбулентности и пр.), уравнениями многокомпонентных и многофазных сред, а также магнитогидродинамические модели различного уровня и пр.
Нелинейность большинства исследуемых задач и соответствующих систем дифференциальных уравнений не позволяет получить их точные решения, за исключением некоторых частных случаев. Более того, такие решения не всегда существуют, поэтому основными методами их нахождения являются приближенные и численные.
На современном этапе развития математического моделирования большое распространение получили различные численные методы: конечных разностей (МКР), конечных объемов (МКО),
конечных элементов, граничных элементов, а также специальные методы: частиц в ячейках, статистических испытаний и пр.
Разновидностью МКР является МКО, основанный на аппроксимации исходных уравнений в интегральной форме. Возможность выбора различных форм расчетных ячеек при аппроксимации расчетных областей способствовала распространению МКО при решении задач сложной геометрии, в том числе в многосвязных областях. Исходные уравнения аппроксимируются для каждой исходной ячейки, т.е. получаемые схемы являются консервативными. Порядок аппроксимации зависит от точности аппроксимации объемных и поверхностных интегралов, что облегчает построение схем повышенного порядка.
Очевидно, перечисленные требования должны быть дополнены требованием адекватности или близости свойств разностной схемы к свойствам исходной задачи, условиями консервативности схемы, однородности алгоритма и т.д.
Задача оптимизации может иметь одно или несколько решений (или не иметь их). Отсюда следует очевидный вывод о невозможности построения универсального алгоритма для решения задач различных классов и необходимости создания различных алгоритмов в зависимости от целей исследования.
Проведем анализ основных требований, предъявляемых к численным алгоритмам.
Чтобы обеспечить сходимость численного решения к решению исходной задачи, необходимо удовлетворить условия аппроксимации и устойчивости (корректности) разностного решения. Доказательство этих утверждений достаточно сложное, особенно в отношении нелинейных уравнений, и является одним из актуальных вопросов теории разностных схем.
Требования к точности расчета для различных физико-математических задач могут быть различными в зависимости от цели моделирования. Разумеется, точность расчета должна быть согласована с точностью выбранной физико-математической модели.
Требование экономичности алгоритма всегда являлось одним из главных и понималось как минимизация числа арифметических операций на решение задачи.
Методам расчета систем солнечного теплохладоснабжения посвящена обширная литература [3, 9, 26, 39, 41, 42, 82-88].
Ниже рассматриваются математические модели тепломассообменных процессов, протекающих в коллекторах солнечных систем. Анализ этих процессов позволит определить пути повышения их эффективности.
