Аварийные процессы неконтролируемого увеличения мощности реактора связаны со значительными перемещениями расплавленного кипящего вещества в активной зоне. Для расчета этих процессов используют уравнения сохранения и соответствующие уравнения состояния. Это дифференциальные уравнения, которые решаются на ЭВМ методом конечных разностей.
Поскольку уравнения сохранения широко используются в расчетах аварийных режимов реакторов БН, целесообразно привести эти уравнения в общем виде, прежде чем перейти к описанию процессов. Вывод уравнений известен по учебникам механики жидкостей (например, [4]), поэтому здесь не приводится. При ознакомлении с расчетными методиками целесообразно сравнивать рабочие формулы с уравнениями в общем виде. Это даст возможность понять, какие допущения принимаются в данной расчетной программе.
В основу многих математических моделей переходных гидравлических процессов положен метод координат Лагранжа, в соответствии с которым принимается, что движущаяся среда не переходит границ конечно-разностных элементов, т. е. элементы движутся вместе с потоком и соответствующим образом изменяют свою форму. В других расчетных программах используется метод координат Эйлера, который рассматривает поток среды, пересекающий границы элементов; при этом форма элементов остается неизменной. Первый метод удобен для решения уравнений, записанных в конечно-разностной форме, а также в тех случаях, когда движение среды ограничено и рассматривается в одномерной или двухмерной геометрии. Таким образом, метод координат Лагранжа целесообразно использовать при исследовании сравнительно малых перемещений вещества, характерных для стадии разрушения активной зоны. Метод Эйлера, напротив, лучше применять при анализе значительных перемещений среды, которые наблюдаются в переходной стадии или в стадии деформации конструкции реактора. При моделировании этих этапов аварийного процесса ранее использовался метод Лагранжа благодаря его относительной простоте (расчетные программы VENUS и REXCO, см. § 15.7 и 16.4), однако позже были разработаны методики, основанные на системе координат Эйлера (программа SIMMER, см. § 15.6).
Структура уравнений, приведенных ниже, в основном соответствует той, которая используется в стандартных программах расчета аварийных режимов быстрых реакторов. Однако в отдельных случаях возникает необходимость ввести в уравнения дополнительные члены: например, если требуется учесть перенос количества движения за счет трения, конвективный теплообмен жидкости со стенкой или фактор вязкости при расчетах количества движения и энергии.
Кроме того, если в программу включены отдельные уравнения для каждого фазового состояния вещества, тогда для обозначения переноса массы, количества движения и энергии от одной фазы к другой в уравнения также вводятся дополнительные члены. Все вновь вводимые члены обозначаются
Χ1, Х2, X3.
Рассматриваются три основных уравнения сохранения, записанных в двух вариантах: по методу Эйлера и по методу Лагранжа. Уравнения Эйлера характеризуются наличием в левой части члена, учитывающего конвективный теплообмен. В уравнениях, записанных в координатах Лагранжа, этот член отсутствует, но вместо него вводится субстанциональная производная D/Dt.
Субстанциональная производная есть скорость изменения параметров, характеризующих движущуюся жидкость. В уравнениях Лагранжа, составленных в конечно-разностной форме, принято, что каждый рассматриваемый элемент движется вместе с потоком. Применительно к уравнению неразрывности потока и уравнению энергии субстанциональная производная представляет собой скорость изменения плотности и энергии массы внутри элемента. В уравнении момента — это ускорение самого элемента.
Напротив, в системе отсчета Эйлера элементы считаются неподвижными, а поток среды проходит сквозь них.
Уравнения неразрывности вначале приводятся в векторной форме, затем преобразуются для прямоугольных и цилиндрических координат. По аналогии с другими методиками расчета аварийных процессов быстрых реакторов в цилиндрических координатах предполагается наличие азимутальной симметрии. Ускорение свободного падения, обозначенное g, действует только в направлении оси z, поэтому gz = —g.
В. ПСЕВДОВЯЗКОЕ ДАВЛЕНИЕ
В заключение коснемся вопроса о расчетной оценке больших градиентов давления, возникающих в переходных гидродинамических процессах. Очевидно, аварийный процесс разрушения активной зоны реактора с жидкометаллическим теплоносителем (если такая авария вообще возможна) будет протекать достаточно медленно и не приведет к возникновению сильной ударной волны. Опасность разрушающего воздействия представляют, возможно, местные очаги взаимодействия расплавленного топлива с натрием, которые, однако, не играют решающей роли в общем ходе процесса. Этот вопрос более подробно рассмотрен в § 16.2, где сравниваются временные характеристики роста реактивности и детонации в результате химических взаимодействий. Однако вероятность возникновения больших градиентов давления в процессе аварии с разрушением активной зоны существует, и учет этих градиентов затрудняет решение уравнения момента в конечно-разностной форме.
Практически все программы расчета гидродинамики аварийных процессов в реакторах БН используют методику Нойманна—Рихтмайера [5], согласно которой в уравнения вводится новый параметр: псевдовязкое давление q (этот параметр называется также искусственной вязкостью, хотя размерность его соответствует единицам давления). Это довольно сложное понятие, и его обсуждение не входит в задачу нашей книги, тем более, что уравнения, включающие параметр q, относительно просты. Следует иметь в виду, что, если в рассматриваемом процессе происходит сжатие жидкости, в уравнениях энергии и количества движения к действительному значению давления р добавляется q. В результате градиент давления распространяется на несколько элементов жидкости, что значительно облегчает расчет по методу конечных разностей. Сравнение результатов расчетов, проведенных по этой методике, с данными более точного анализа распространения ударной волны показало, что применение метода Нойманна — Рихтмайера к расчетам аварийных процессов быстрых реакторов является вполне обоснованным.
