В настоящем разделе рассматривается метод, основанный на представлении условий функционирования системы с помощью логических функций и нахождении по ним с помощью аналитических выражений показателей надежности [Л. 49, 54, 56, 57].
Указанные функции алгебры логики (ФАЛ) могут быть представлены в виде функций работоспособности (ФР) или функций неработоспособности (ФНР) и являются математической записью условий работоспособности и неработоспособности системы. С точки зрения расчета надежности функции равноправны, и в практических расчетах находят ту из них, аналитическое выражение которой проще.
Опыт использования метода показал, что для простых нерезервированных систем целесообразно находить ФР, для систем, сложных в функциональном или структурном смысле — ФНР. В последнем случае допустимо находить Ф НР, приближенно представляющую процесс функционирования системы.
Логические функции задаются с помощью функций минимальных путей (ФМП) или функций минимальных сечений (ФМ С). При этом минимальным путем (сечением) называется такая минимальная совокупность элементов, одновременное работоспособное (неработоспособное) состояние которых приводит к работоспособному (неработоспособному) состоянию системы независимо от состояния других элементов. В практических расчетах целесообразно ФР задавать с помощью ФМП, а ФНР — с помощью ФМС.
Логическое представление схемы функционирования системы возможно во всех случаях, когда мощность источников н пропускная способность элементов таковы, что наличие одной или заранее известного количества связей потребителей с одним или конкретным количеством источников гарантирует нормальное электроснабжение потребителей.
В ряде случаев, когда эти условия не выполняются или выполняются, но приводят к громоздким операциям, находится приближенная логическая функция в виде ФНР.
В случае сложной системы (холодное резервирование, недопустимые режимы, несколько потребителей в разных местах с различными требованиями к качеству электроснабжения и т. п.) схему функционирования необходимо представить с помощью подмножеств состояния [Л. 55, 57],
Структурно первый этап метода — получение логических функций системы, состоит из нескольких шагов. Первый шаг заключается в предварительном упрощении заданной системы путем замены (эквивалентирования) нескольких элементов, расположенных между смежными выключателями, одним с эквивалентными показателями надежности [Л. 50]. Второй шаг для всех систем, кроме схем электрических соединений станций, заключается в представлении сложных требований к системе в виде композиции элементарных, записать которые с помощью аппарата алгебры логики несложно. Для большей наглядности проиллюстрируем изложенное задачами, точное решение которых не всегда может быть получено с помощью других методов.
1. Пусть задана система [Л. 23], для обеспечения работоспособности которой необходима безотказная работа по крайней мере т элементов из п. Необходимо определить наработку на отказ Тср, среднее время восстановления Тв.ср и другие показатели надежности системы по показателям надежности элементов.
Пусть п = 4, т = 2. В этом случае требование к системе в виде функции работоспособности 5 может быть представлено с помощью элементарной задачи — через ФР отдельных элементов:
На этом второй шаг заканчивается. В сложных случаях для нахождения ФР пли ФНР такое разбиение задачи осуществляется несколько раз. При этом в качестве элементарной задачи целесообразно рассматривать условия электроснабжения (перерыва электроснабжения) потребителя i от источника j — Sij(Sij). Для функционально сложных систем подобных описанным в [Л. 96], а также систем, которые могут работать в различных режимах (и нормальных и ремонтных), логическую функцию системы целесообразно искать в форме ФНР, причем если для первых можно предложить целую группу формализованных методов [Л. 50, 57], то для вторых, в частности схем электрических соединений станций, целесообразно воспользоваться специальной таблицей состояний, подобной предлагаемым [Л. 23, 81, 108], но с обязательным анализом двойных и более одновременных отказов элементов. Как это было показано в [Л. 50], такой анализ не является полным перебором отказов. В результате для каждого анализируемого режима находится своя ФНР.
Сложность второго этапа расчета — нахождения количественных показателей надежности по ФАЛ, определяется сложностью ФАЛ. В случае, когда даже более простая форма ФАЛ (в нашем примере S 1) является сама по себе достаточно сложной, на первом этапе возникает необходимость третьего шага по упрощению (ортогонализации) ФАЛ [Л. 96]. Последние исследования показали, что этот шаг целесообразен в случаях, когда ФАЛ содержит более шести — восьми конъюнкций.
Первый шаг второго этапа заключается в нахождении вероятностного полинома, т. е. в переходе от логической к вероятностной функции с помощью основных теорем теории вероятностей. При нахождении вероятности истинности ФАЛ (по отношению к системе — это аналитические выражения вероятности безотказной работы пли отказа системы) вводятся следующие обозначения:
дифференцируемыми, непрерывными и положительными функциями. В случае, когда ФАЛ состоит более чем из трех неортогональных дизъюнкций, для нахождения вероятностного полинома целесообразно воспользоваться специальной таблицей [Л. 96].
Пропуски в ячейках второй и последующих совокупностей граф соответствуют единице. Для функции (табл. 2-3) заполнение ячеек второй и последующих совокупностей не требуется, так как каждая строчка граф первой совокупности содержит по одному нулю.
В этом случае вторые и последующие совокупности содержат только единицы. Рядом с табл. 2-3 выполнен подсчет членов полинома за счет этих совокупностей. Вероятностный полином имеет вид:
В случае, когда система представлена несколькими ФАЛ для различных режимов работы, показатели надежности находятся для каждого из этих режимов, а затем находят обобщенные показатели системы с учетом относительной продолжительности каждого из режимов. Несостоятельной представляется попытка рассматривать плановые ремонты как поток, подобный потоку отказов и восстановлений. У плановых ремонтов элемент случайности носит совсем другой характер.
Второй этап расчёта надежности остается без изменения и в случаях, когда схема функционирования системы может быть представлена только с помощью подмножеств состояний.
Значения Тв.ср и Тср для рассмотренного выше и некоторых других случаев представлены в табл. 2-4. При этом особый интерес представляют Два частных случая: т=1, т=п, т. е. случаи параллельного и последовательного соединения элементов. Для т = п имеем:
Таким образом, логико-аналитический метод позволяет получить более простым путем те же самые аналитические выражения [Л. 44], которые широко используются для расчета надежности последовательно-параллельных цепей. В энергетике метод, основанный на использовании этих выражений, назван аналитическим [Л. 27, 80, 120].
Рассмотренная формализация расчета на этапе получения ФАЛ и на этапе нахождения вероятностных полиномов диктуется отсутствием у инженеров опыта работы с аппаратом алгебры логики.
Таблица 2-4
Наличие опыта в обращении с аппаратом алгебры логики позволяет обращаться к формализованному решению только в случаях очень сложных (структурно и функционально) систем. Для рассмотренной выше задачи наличие опыта работы с аппаратом алгебры логики позволяет сразу получить ФАЛ в ортогонализированной форме:
4. Задана система т из п (см. пример 1). Необходимо по показателям надежности элементов найти показатели надежности системы Тср и Тв.ср для следующих условий: п = 3, т = 2. В системе п, раз в год осуществляется профилактика элементов.
Таблица 2-5
Для получения логических функций системы составляется специальная таблица анализа состояний (табл. 2-5). По этой таблице получают Ф НР для режима нормальной работы и для режимов плановых ремонтов элементов 1, 2 и 3.
По этим функциям находятся логические полиномы (табл. 2-6), а по ним показатели надежности работы системы в рассматриваемых режимах (табл. 2-7).
Показатели надежности системы определяются с учетом относительной длительности рассматриваемых режимов ау,
где
Таблица 2-6
Необходимо подчеркнуть, что использование таблиц анализа состояний для получения ФНР целесообразно лишь для функционально или структурно сложных систем, а также систем с большим числом (более десяти) различных режимов работы.
В других случаях ФАЛ для различных режимов целесообразно находить или непосредственно по системе, или с помощью представления основной задачи через элементарные.
Укажем область применения логико-аналогического метода. Когда схема функционирования системы может быть представлена в виде параллельного и последовательно-параллельного соединения элементов с дробной степенью резервирования, а также в виде непоследовательно-параллельно соединенных элементов (мостиковые структуры типа примера 3) с любой краткостью резервирования, для расчета надежности могут быть использованы только логико-аналитический метод, а также группа методов, разработанных на строгой математической основе [Л. 34, 35, 96, 112 и др.].
Для систем, схему функционирования которых можно представить в виде последовательно-параллельной бесповторной структуры (пример 2), использование логико-аналитического метода эффективнее, чем аналитического. Логико-аналитический метод позволяет сразу получить показатели надежности, в то время как аналитический метод — лишь последовательным преобразованием участков последовательного и параллельного соединения элементов; чем больше таких участков, тем больше эффективность логико-аналитического метода. Его нецелесообразно использовать для нерезервированных систем (т = п) и систем с кратной степенью резервирования, так как для расчета надежности можно воспользоваться готовыми аналитическими выражениями (2-47) — (2-50).
