ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОНТАКТНОГО СОЕДИНЕНИЯ ОТ ВОЗДЕЙСТВУЮЩИХ ФАКТОРОВ
Математические описания функционирования контактных соединений в общем виде представляют собой систему уравнений вида
(38)
Каждое из уравнений (38) определяет зависимость i-го выхода от всех входных воздействий. Установить вид функций Т: достаточно сложно, поскольку факторы Ζ неизвестны. Однако каждое из уравнений (38) можно представить в виде
Теперь задача создания математической модели функционирования контакта приобретает смысл: нужно установить вид функции Фi и оценить влияние неконтролируемых воздействий [Ψ(Ζ)], называемых часто термином «шум».
Для простоты рассуждений будем рассматривать один выход контактного соединения, помня, что в таком виде модель неполна и оценка «шума» обязательна.
Далее ограничимся случаем, когда Ζ является случайным процессом, непосредственное наблюдение которого невозможно. Тогда задача по поиску математического описания контактного соединения сводится к отысканию оператора Фi, связывающего наблюдаемые входы X и выход Y:
(39)
Выбор уравнений (39) в значительной мере носит эвристический характер и довольно трудно поддается формализации. Можно использовать несколько методов: аналогий, перебора, математических функций, теоретический, эмпирический.
Наиболее простой из них — метод аналогий, суть которого сводится к выбору той формы связи, которая уже проверена ранее в регрессионных моделях контактного соединения. Ввиду ограниченности информации об исследованиях контактов с помощью регрессионных зависимостей возможность этого метода невелика.
Можно использовать метод перебора различных математических функций; наиболее адекватная средн них выбирается в соответствии с каким-либо критерием. В качестве такого критерия употребляются, например, минимум средней квадратической ошибки, критерий Фишера и др. Однако при таком подходе необходимо знать, во-первых, сколько видов математических зависимостей следует взять для сравнения, во-вторых, если их много, то как отобрать лучшие. В настоящее время можно указать работы, в которых методами планирования эксперимента выполняется дискриминация моделей и определяется модель, наиболее адекватная объекту. Ответ на вопрос о том, сколько и какие функции необходимо выбрать первоначально для анализа, пока не найден.
Теоретический способ выбора формы связи опирается на теорию тех явлений и процессов, которые подвергаются исследованию. При этом следует учитывать всю сложность процессов, протекающих в замкнутой форме контактного соединения.
Вид зависимости между воздействующими на контактное соединение факторами и выходом при эмпирическом подходе может быть определен с помощью точечных диаграмм. Основанием для определения характера связи в этом случае служит вид совокупности точек на диаграмме и возможность провести линию, в какой-то степени отражающую закономерность в расположении точек. Эта задача упрощается при числе факторов не более трех. При числе факторов более трех или при неопределенной форме совокупности точек задача значительно усложняется.
Наиболее рациональным является выбор формы связи эмпирическим методом в сочетании с качественным анализом функций, выбираемых для аппроксимации выборочных статистических совокупностей. Этот метод предполагает экспериментальное исследование: изменение входов и определение выхода. Проведя определенное число экспериментов, можно их результаты описать эмпирическими уравнениями (или системой эмпирических уравнений). Эти уравнения и будут математической моделью контактного соединения.
Достоинство такого подхода — простота, недостаток — малая надежность экстраполяции. В пределах изменения факторов, изученных в опытах, предсказание поведения контактного соединения (интерполяция) обычно может проводиться достаточно точно, но так как закон изменения функции выхода вне этих пределов нам неизвестен, при экстраполяции результатов возможна ошибка.
Модель (39) призвана объективно описать существующие между факторами и выходом корреляционные связи. По характеру проявления эти связи чрезвычайно разнообразны и сложны. В одном случае моделируемый показатель Υ с изменением i-го фактора возрастаетили убывает равномерно, в другом — неравномерно, в третьем — возрастание может смениться убыванием и наоборот. Поэтому при выборе типа уравнения регрессии речь идет об аппроксимации сравнительно простыми функциями несравненно более сложных по своей природе взаимосвязей.
Формальными критериями предварительного выбора вида связи являются: характер графиков парных зависимостей выходного показателя контактного соединения от воздействующих факторов, соответствие выбранной модели известным физическим закономерностям моделируемого процесса, достижение заданной точности моделирования при условии соответствия указанным выше признакам.
Вид связи между выходным показателем и воздействующими факторами может быть представлен в различных математических формах (линейной, логарифмической, степенной и т. д.).
Так как модели различаются степенью своей подробности, с которой они описывают изучаемые контакты, разумно начинать исследование на основе самой простой из них.
Предварительно для качественного определения тесноты и вида связи (линейная или нелинейная) между выходным показателем (электрическим сопротивлением) и влияющими факторами в плоскости последних строились корреляционные поля точек, из анализа которых был сделан вывод о том, что зависимость электрического сопротивления от рассматриваемых факторов по своему характеру близка к линейной.
Исходя из изложенного и учитывая, что в современной теории статистики развивается в основном аппарат оценки параметров, представленных в виде линейной комбинации с функциями произвольного типа, при моделировании контактного соединения предпочтение отдано линейным моделям или моделям, которые приводятся к линейному виду путем некоторого преобразования, например, путем логарифмирования:
Такой подход к выбору типа функции, несомненно, таит в себе известную условность, ибо предполагает одинаковый характер связи со всеми факторами. Однако имеет смысл пользоваться упрощенной моделью и даже в том случае, когда существует более сложная модель: чем проще модель, тем, как правило, проще сделать на ее основе количественные выводы.
Практика моделирования контактных соединений не сразу оказалась подготовленной к использованию методов многомерных статистических регрессий. Это вызвано в первую очередь тем, что эти методы таят в себе погрешности двоякого рода: использование недостаточного набора факторов, не несущего даже суммарно полной информации результирующего показателя, и статистическая избыточность выбранных факторов, являющаяся следствием дублирования информации, заключенной в отобранном множестве факторов.
Опыт моделирования контактов показывает, что при корректной постановке экспериментов удается избежать указанных недостатков.
Процедура оценки параметров регрессионной модели основана на методе наименьших квадратов (МНК). Поскольку алгоритмы МНК достаточно подробно описаны в литературе и реализованы практически на всех типах ЭВМ, приведем лишь общую схему расчета статистических характеристик моделей (40), (41), обратив основное внимание на их интерпретацию.
Оценив параметры уравнения регрессионной модели, можно рассчитать значение выходного параметра Y.
Однако важно не только определить коэффициенты уравнения (40), но и проверить качество и возможность практического использования полученной модели.
Для этого обычно используется уравнение дисперсионного анализа
Наряду с оценкой качества всей математической модели не менее важен вопрос значимости индивидуального влияния каждого фактора на выходной показатель.
В том случае, если изменение фактора не приводит к существенным изменениям функции, он может быть исключен из уравнения. В результате последовательного анализа значимости влияния факторов на выходной показатель контактного соединения можно получить уравнение, содержащее только те факторы, изменение которых приводит к существенным изменениям функции.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется выходной показатель Yс изменением фактора на 1% при фиксированных значениях остальных факторов.
Однако применение коэффициентов эластичности Эхi для анализа роли отдельных факторов Χi в изменении выходного показателя Y недостаточно, так как они не учитывают масштабов вариации самих факторов. Для оценки степени влияния факторов с учетом их
Статистический анализ уравнения (42) показывает, что оно значимо. Фактическое значение Fрасч-критерия составляет 76,45 при табличном значении 1,73 для 5%-ного уровня значимости при 39 степенях свободы. Коэффициент множественной корреляции R, показывающий тесноту связи между факторами Xi и электрическим сопротивлением, равен 0,946. Существенность коэффициента множественной корреляции проверена по t-критерию, фактическое значение которого составляет 8,57 при табличном значении 1,68. Коэффициент множественной детерминации R2, равный 0,895, показывает, что изменение уровня электрического сопротивления для модели на 89,5% зависит от колебания значений отобранных факторов.
Проведенный качественный анализ свидетельствует о том, что знаки при факторах, влияющих на электрическое сопротивление в модели (42), соответствуют сложившимся в теории электрических контактов представлениям о направлении их влияния на электрическое сопротивление. Положительные знаки при коэффициентах говорят о том, что с увеличением значений этих факторов электрическое сопротивление повышается. Отрицательные знаки отражают обратную связь значений факторов с электрическим сопротивлением.
Вычисленные значения коэффициентов эластичности (табл. 16) свидетельствуют о том, что электрическое сопротивление наиболее эластично для удельного электрического сопротивления, повышение которого на 1% приводит к возрастанию электрического сопротивления на 0,83%, Значительна также эластичность электрического сопротивления под влиянием электрического тока.
Таблица 16
Однако, как ранее отмечалось, применение коэффициентов эластичности является недостаточным, так как они не учитывают масштабов вариации самих факторов. Это позволяют сделать β-коэффициенты (табл. 16), показывающие, на сколько средних квадратических отклонений изменяется электрическое сопротивление при изменении фактора на одно среднее квадратическое отклонение.
Меру влияния каждого фактора в отдельности на электрическое сопротивление дает возможность определить частный коэффициент детерминации. Из данных табл. 16 следует, что изменение уровня электрического сопротивления на 89,5% зависит от пяти учтенных факторов; наибольшее изменение электрического сопротивления связано с удельным электрическим сопротивлением — 71,2%, наименьшее — с шероховатостью поверхности контактных элементов — 0,06%. Влияние на Rк.с включенных в модель (42) факторов показано на рис. 29.
Включение в модель (42) каких-либо дополнительных факторов неизбежно приводит к нарушению условий относительной независимости факторов. Включим в модель (42) еще три дополнительных фактора: Х'2 — твердость материала, — температуру окружающей среды и Х'3 — влажность, рассмотренных в § 10.
Рис. 29. Изменение электрического сопротивления под влиянием контактного нажатия (а), электрического тока (б), удельного электрического сопротивления (в) и шероховатости поверхностей (г)
Таблица 17
Полученные значения коэффициентов уравнения регрессии (табл. 17) указывают на то, что направление связи (знак при коэффициенте регрессии) для фактора X1 не соответствует знаку при соответствующем парном коэффициенте корреляции и физическому смыслу.
Несоответствие знаков при коэффициенте регрессии фактора и парном коэффициенте корреляции является одним из частных выражений мультиколлинеарности факторов.
Выполненное исследование показало, что в модель электрического сопротивления контактного соединения целесообразно включать не более 4—5 факторов. При этом предполагается, что необходим набор факторов, не слишком обобщенных и вместе с тем не очень дробных, с достаточной полнотой характеризующих формирование электрического сопротивления.
Описывающая исследуемую зависимость степенная функция
(43)
несколько улучшает сходимость расчетных и фактических значений электрического сопротивления. Коэффициент множественной корреляции этой модели равен 0,95, коэффициент множественной детерминации — 0,902.
Интерпретация модели, построенной с помощью степенной функции (43), довольно проста. Показатели степени (коэффициенты регрессии) являются коэффициентами эластичности значения электрического сопротивления по отношению к значению соответствующего фактора. Они отражают, на сколько процентов изменяется значение электрического сопротивления с изменением одного из факторов на 1 % при фиксации остальных факторов.
Значения дисперсии, вычисленные для оценки тесноты связи в обоих видах функций [уравнения (42) и (43)], мало отличаются между собой (до 2%). Принимая во внимание простоту, линейная функция рекомендована к использованию на практике. Дальнейшая эксплуатация подтвердила ее высокую надежность и достоверность. Коэффициент аппроксимации оказался во всех вариантах ниже 6%, что считается вполне приемлемым при построении статистических моделей.
Следует отметить важное обстоятельство, касающееся трактовки свободного члена уравнения регрессии (42). В этом случае можно лишь объяснить знак свободного члена. По нему можно судить о характере коэффициента эластичности многофакторного уравнения. Если b<0, то сумма частных коэффициентов эластичности должна быть больше единицы (см. табл. 16).
