Определение эффективности работы того или иного алгоритма поиска — задача весьма сложная. Сложность заключается, во-первых, в выборе единой оценки методов и, во-вторых, в неоднородности условий работы того или иного алгоритма.
Так как требования, предъявляемые практикой к алгоритмам, весьма противоречивы, то построить на их базе какой-либо компромиссный комплексный критерий, претендующий на общность, оказалось невозможным. Были попытки построения общих оценок алгоритмов на базе более абстрактных признаков. В теории оптимизации использовалось понятие скорости сходимости. Однако сходимость поиска может быть доказана только для очень ограниченного класса функций, и для более сложных случаев такая оценка не может быть получена.
В практике наиболее общей оценкой качества поиска, к которой в конечном счете могут быть сведены все остальные оценки, является время, необходимое для решения задачи оптимизации. Такая оценка удобна для непосредственного экспериментального сравнения методов, поставленных в равные условия (одинаковые функции и эквивалентные ЭВМ, на которых реализуются алгоритмы). Рассчитать такую оценку очень трудно, так как она складывается из многих факторов, количественные показатели которых весьма неопределенны. Особенно трудно учитывать поведение алгоритмов при изменениях условия поиска, когда при движении к экстремуму характер оптимизируемой функции в локальной области резко меняется. Не вдаваясь в анализ других причин более частного характера, можно утверждать, что в настоящее время задача нахождения универсального критерия оценки методов в теории и практике поиска не решена.
При исследовании методов пользуется популярностью экспериментальное сравнение отдельных алгоритмов на ЭВМ.
Разработан ряд тестовых функций, моделирующих те условия, которые особенно часто имеют место при поиске, в частности особые точки («овраг», «седло»). Почти полный их набор имеется в работе [30]. На ЭВМ осуществляется поиск экстремума этих функций различными методами и приводится таблица затрат на поиск (число шагов, время поиска), по которым судят о сравнительной эффективности того или иного метода в различных условиях.
Указанные тестовые функции хорошо характеризуют стратегические аспекты алгоритмов и мало — свойства алгоритмов с точки зрения размерности пространства параметров. При большом числе оптимизируемых переменных в задаче необходимо оценивать качество выбираемого метода именно с точки зрения многомерности.
Исследование в плане многомерности позволяет выделить группы эквивалентных алгоритмов. Если считать фактор размерности превалирующим над остальными, то можно показать [62], что число шагов (число измерений функции качества), необходимых для отыскания экстремума, пропорционально в градиентных методах п2, где п — число переменных. В методах случайного поиска [48, 49] и методах, где не используется градиент, оно пропорционально приблизительно п3/2. При больших п для отбора алгоритма в первую очередь надо руководствоваться соображениями многомерности. При малых п, когда затраты на многомерность соизмеримы с затратами стратегического плана, необходимо принимать во внимание ряд факторов.
Для случая оптимального проектирования и, в частности, расчета оптимальных параметров теплообменников АЭС условия можно охарактеризовать следующим образом. Функция качества и функции ограничений, а также алгоритм поиска введены в ЭВМ. Поэтому время поиска зависит от этих трех моментов и от того, сколько рабочих шагов понадобится методу для отыскания экстремума, а также от быстродействия ЭВМ.
Задаваясь приемлемым с практической точки зрения временем поиска, можем оценивать остальные факторы. Поскольку число переменных невелико и имеется уверенность, что решение лежит на границе, можно выбирать один из градиентных методов, хорошо работающих на ограничениях. Так как функция качества носит ярко выраженный «овражный» характер, метод должен хорошо работать на «оврагах». При наличии нескольких алгоритмов, имеющих примерно равные показатели по тестовым таблицам [30], целесообразнее выбирать метод, который требует меньше вычислительного времени (без времени счета функции) на рабочем шаге. Это целесообразно делать, когда затраты на вычисление функции качества меньше затрат на собственно алгоритм. Сравнительную сложность алгоритма и функции в вычислительном аспекте оценить относительно нетрудно. Наиболее слабым местом при выборе метода является стратегическая оценка, так как часто ничего не известно о характере функции и невозможно сравнить ее с тестовой.
Так, например, для решения задачи с критерием качества Ψκ оптимизации параметров конденсатора с водяным охлаждением хорошо подходил модифицированный градиентный метод, однако при более сложных задачах происходило «зацикливание» в «овраге» и пришлось применить метод касательных плоскостей.
В общем случае оценку и выбор метода поиска можно осуществлять следующим образом:
- оценка задачи в аспекте многомерности и выбор группы методов, целесообразных в этом плане;
- сопоставление ограничений задачи с тестовыми [30] и отбор методов (из выбранной на предыдущем шаге группы), наиболее соответствующих ограничениям;
- сопоставление функции качества с тестовой и выделение из отобранных методов наилучшего в плане стратегии.
Все сказанное выше касалось поиска локальных экстремумов. Когда функция качества многоэкстремальна и настолько сложна, что гарантия попадания в глобальный экстремум невелика (даже при многократном повторении поиска из разных начальных точек), целесообразно обращаться к специальным методам глобального поиска, например к методу Ψ-преобразования. Как показала практика, он даже при относительно малых выборках уверенно выводит в области глобального экстремума, откуда можно осуществить поиск локальным методом с требуемой точностью.
