Проблема надежности связана в первую очередь с исследованием случайных явлений, событий процессов и факторов, воздействующих на состояние элементов и систем действующих АЭС.
В теории и практике надежности (применительно к АЭС) при расчетах и анализе различных случайных событий необходимо применять основные положения, понятия и расчетные методы теории вероятности, которые и будут рассмотрены в данной главе. Изложение материала носит справочный характер.
К случайным явлениям относятся, в первую очередь, случайные события и случайные величины. Случайные события - это отказы, связанные с возникновением неисправностей и нарушений в работе отдельных конструктивных элементов ЯЭУ АЭС. Эти события (отказы) могут произойти, а могут и не произойти.
Случайные величины - это числовые значения, характеризующие количественно случайные события. К случайным величинам относятся количественные показатели надежности, которые будут рассмотрены в дальнейшем. С точки зрения вероятностей случайная величина характеризуется в общем случае как функция, заданная на множестве исходов данного опыта.
Случайная величина может быть непрерывной, когда ее значение непрерывно, целиком заполняет некоторый интервал, а может быть дискретной, когда ее значения имеют множество конечных исходов при исследовании объекта на надежность.
Случайные события принято обозначать буквами А, В, С ...
Возникновение случайного события называется вероятностью данного события и обозначается Р(А).
Вероятность события - это численная мера степени объективной возможности данного события. Понятие вероятности связано с опытным, практическим понятием частоты событий. Частотой событий (или статистической вероятностью событий) называется отношение m - числа появлений событий А к η - общему числу произведенных опытов, то есть Р(А) = m/η. Очевидно, частота появления событий Р(А) приблизительно равна отношению m/η.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в рассматриваемом опыте, событие называется невозможным, если оно не может произойти в рассматриваемом опыте. Вероятность достоверного события - это событие, при котором в рассматриваемом опыте ни один элемент не отказал, и обозначается оно Р(А) = 1.
Вероятность невозможного события - это событие, при котором в рассматриваемом опыте отказали все элементы, и обозначается оно Р(А) = 0. Вероятность любого случайного события может иметь численные значения от 0 до 1, которые должны удовлетворять уравнению 0<Р(А)< 1.
Два случайных события А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе в рассматриваемом опыте. Два события называются совместными, если они могут произойти вместе в рассматриваемом опыте. Совместность не следует понимать как одновременность, имея в виду, что эти события обязательно должны произойти - одновременно или последовательно - в рассматриваемом опыте. События называются зависимыми, если появление события А зависит от того, чтобы произошло вначале другое событие В.
Для учета зависимости событий вводится понятие условной вероятности события А, которое происходит после возникновения события В, оно обозначается Р(А/В) и определяется соотношением
(3)
Суммой событий (А + В) называют событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (а вместе они не происходят). Суммироваться может любое множество событий. Произведением событий (А · В) называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий. Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно происходит, а любые два из которых несовместны, называется множеством исходов (элементарных событий) этого опыта. Каждое событие из этого множества называется исходом (элементарным событием) рассматриваемого опыта. Для вычисления вероятностей событий используются теоремы сложения и умножения вероятностей.
Правило сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна суме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (4)
Для m-несовместных событий
(5)
Вероятность суммы совместных событий выражается формулой
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А-В). (6)
Правило умножения вероятностей (табл. 1). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:
Р(АхВ) = Р(А)хР(В/А). (7)
Для независимых событий
Р(АхВ) = Р(А)хР(В). (8)
Для несовместимых событий, очевидно,
Ρ(ΑхΒ) = 0. (9)
Таблица 1
События | Зависимые | Независимые |
Совместные АВ | Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А + В) | Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) |
Несовместные АВ | Р(А + В) = Р(А) + Р(В) | ТАКИХ СОБЫТИЙ НЕТ |
У вероятности каждого события есть вероятность противоположного события. Так, например, у вероятности безотказной работы объекта Р(А) есть вероятность отказа Q(A).
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P(A) + Q(A)=1. (10)
