Надежность и безопасность АЭС - Показатели надежности оборудования АЭС

Глава 5
ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ОБОРУДОВАНИЯ АЭС

Общие сведения о показателях надежности

Для количественной оценки случайных событий (отказов в работе отдельных элементов и систем АЭС) используются случайные величины, функциональные и числовые характеристики которых позволяют количественно рассчитывать надежность объектов. Эти функциональные числовые характеристики случайных величин в расчетах надежности обычно называются количественными показателями надежности и характеризуют одно или несколько свойств, определяющих надежность объекта. Характерными особенностями показателей надежности в общем случае являются следующие:

• показатели надежности представляют собой функциональные и числовые характеристики случайных величин, которые были рассмотрены в гл. 3;
• показатели надежности, являясь случайными величинами, определяются как вероятностные характеристики на основе методов математической статистики и теории вероятности;
• определение показателей надежности базируется на знании основ теории функциональных и числовых характеристик случайных величин;
• показатели надежности могут быть расчетными, экспериментальными и статистическими; расчетные определяются с помощью формул, выведенных в теории надежности, экспериментальные - по данным специальных испытаний объекта или группы однотипных элементов на надежность; статистические - на основе обработки множества данных наблюдений в процессе эксплуатации;
• показатели надежности могут быть либо непрерывными, либо дискретными случайными величинами;
• показатели надежности могут иметь точные значения - точечная оценка или приближенные значения - интервальная оценка с доверительными границами интервалов, которые с заданной доверительной вероятностью покрывают все возможные значения расчетных показателей надежности;
• показатели надежности могут использоваться для количественной оценки уровня надежности любого объекта, для сравнительной оценки надежности различных объектов, для определения важных эксплуатационных характеристик и др.;
• количественная оценка надежности не может быть полностью достоверной с помощью только одного показателя надежности;
• показатели надежности следует понимать как среднестатистические показатели некоторой группы (партии) однотипных объектов.

Например, если вероятность безотказной работы объекта в течение заданного времени t = 0,9, то это означает, что из 10 таких объектов в среднем 9 безотказно отработают это время t и только какой-то один из них не отработает заданное время и откажет раньше. Фактические показатели надежности каждого отдельного объекта этой группы будут, очевидно, отличаться от средних значений для группы.
В настоящее время основными показателями надежности оборудования АЭС являются единичные показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности, характеризующие соответственно одно из этих свойств, и различные комплексные показатели, характеризующие обычно два свойства - безотказность и ремонтопригодность. Следует отметить, что иногда могут использоваться также показатели сохраняемости, характеризующие надежность объектов в период их хранения или транспортирования.

Показатели безотказности

Безотказность - это свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или наработки. Основные показатели безотказности даны в табл. 9.
Таблица 9

Показатели безотказности являются часто определяющими при анализе надежности оборудования АЭС, поэтому рассмотрим их наиболее подробно.
Вероятность отказа представляет собой функцию распределения случайной величины τ, свойства которой были рассмотрены в гл. 3, а расчетные формулы для решения различных законов распределения случайной величины - в гл. 4.
Точечная статистическая (эмпирическая) оценка вероятности отказа определяется соотношением
(39) где n(t) - число отказавших объектов;
N - общее число однородных (однотипных) объектов, исследуемых на надежность за время t.
Из уравнения (39) следует, что произведение N · F(t) характеризует число отказавших элементов за время t:
(40)
Вероятность безотказной работы - это вероятность того, что за заданный промежуток времени t не произойдет отказа объектов, то есть случайная величина - наработка объекта до отказа τ будет больше заданного времени t. Этому определению соответствует уравнение (41):
(41)
Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются противоположными (несовместными) событиями, и сумма вероятностей этих событий равна единице: P(t) + F (t) = 1 или
(42)
Вероятность P(t) является функцией надежности (в отличие от функции ненадежности F(t)), непрерывной и монотонно убывающей. Иногда функцию надежности P(t) называют законом надежности (понимая надежность как безотказность), поэтому P(t) следует называть законом безотказности. На рис. 13 представлен примерный вид закона безотказности.

Основные свойства этого закона: в начальный момент времени при t = 0 Р(0) = 1, а при t = ∞ Р(∞) = 0, так как неработавший элемент отказать не может, и никакой элемент не может безотказно проработать бесконечно долго.
Используя соотношения между интегральной и дифференциальной функциями распределения случайной величины, приведенные в табл. 5, представим важные функциональные связи между вероятностью безотказной работы P(t), плотностью f(t)0 и условной плотностью распределения λ(t):
(43)
(44)
Статистическая оценка вероятности безотказной работы P(t) определяется с учетом уравнения (39) как отношение числа безотказно проработавших объектов [N - n(t)] к общему числу объектов N, проверяемых на надежность:
(45)
Частота отказов, или плотность функции распределения f(t), соответствует уравнению
(46)
Статистическая оценка частоты отказов определяется как отношение числа отказавших объектов в единицу времени к общему числу объектов, проверяемых на надежность:
(47)
Таким образом, функция частоты отказов характеризует скорость роста вероятности возникновения отказа объекта (скорость снижения надежности).
Интенсивность отказов, или условная плотность функции распределения λ(t) в соответствии с табл. 5 (гл. 4) может быть выражена следующим уравнением:
(48)
Статистическая оценка для λ(t) определяется как отношение числа отказавших объектов в единицу времени к числу безотказно проработавших объектов из общего числа проверяемых на надежность за заданное время t:
(49)
Интенсивность отказов в теории надежности часто называют опасностью отказов. Она является основной количественной характеристикой в расчетах надежности не восстанавливаемых объектов, что является характерной особенностью этого показателя надежности. Примером не восстанавливаемых объектов являются тепловыделяющие сборки и тепловыделяющие элементы активной зоны реактора. Часто в теории и практике надежности λ(t) используется и для восстанавливаемых объектов, условно рассматриваемых как невосстанавливаемые только до первого отказа, или после восстановления объекта, условно считая, что он будет работать до первого отказа как не восстанавливаемый. Обычно по этой характеристике обрабатываются статистические данные по отказам для однородных элементов и приводятся в справочной литературе.
Используя соотношения между функциями распределения средней наработки до отказа, приведенные в табл. 5, можем показать одну из наиболее важных функциональных связей между характеристиками надежности: вероятностью безотказной работы P(t), плотностью f(t) и условной плотностью распределения λ(t):
(50)
Средняя наработка до отказа Т - это математическое ожидание случайной величины τ наработки объекта до первого отказа:
(51)
Используя теоретическую формулу для среднего значения непрерывной случайной величины τ, можно записать (гл. 3):
;  (52)
заменив f(t) = F'(t) = -P'(t) и проинтегрировав по частям, получим
(53)
Последнее уравнение означает, что Т равна площади под кривой P(t) (см. рис. 13). Статистическая оценка для средней наработки до отказа для не восстанавливаемых элементов выражается формулой

(54)
где N - число однородных элементов, исследуемых на надежность;
- наработка до отказа каждого элемента.
Гамма-процентная наработка до отказа Туγ - это наработка, в течение которой отказ объекта не произойдет с вероятностью, равной γ, выраженной в процентах. Числовая характеристика То часто используется в теории надежности для описания непрерывных случайных величин.
Используя функциональные характеристики случайных величин, можно написать уравнение для определения Тγ:
(55)
Расчетная формула имеет вид
(56)
где F(Tγ) - функция распределения гамма-процентной наработки до отказа. Графическая иллюстрация определения Τγ дана на рис. 14.
В теории вероятностей величина Τγ называется (1-γ) процентной квантилью или квантилью порядка (1-γ) случайной величины.
Заштрихованные площади под кривой f(t) соответственно равны (1-γ) и γ.
Значение Тγ, соответствующее γ=0,5, называется медианой случайной величины и обозначается Me.

Дисперсия наработки до отказа Д(t) - это квадрат разности между самой случайной величиной и ее математическим ожиданием:
(57)
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины (например, для Т - время в квадрате). Для удобства в расчетах применяется аналог дисперсии - среднее квадратичное отклонение, имеющее размерность случайной величины:
Статистическое значение для Д(t)
(58) где n и t- соответственно число и наработка до отказа наблюдений;
Т - среднестатистическая наработка до отказа.

Показатели безотказности восстанавливаемых объектов

Для восстанавливаемых объектов применяют показатель, называемый параметр потока отказов ω(t), - отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за малую наработку к значению этой наработки:
(59)
Таким образом, параметр потока отказов ω(1) - это среднее число отказов восстанавливаемого объекта в малом единичном интервале времени ∆t, взятое для рассматриваемого момента времени t
Физически параметр потока отказов представляется следующим образом. В момент времени t = 0 объект начинает работать до возникновения первого отказа. В этот период ω(t) = λ(t). Затем в процессе работы объекта могут возникать отказы в случайные моменты времени t1, t2... Эти отказы образуют случайный поток отказов. Очевидно, после возникновения каждого отказа происходит восстановление работоспособности объекта и он продолжает работать до следующего отказа. При этом возможны поток полных отказов, который приводит к аварийной остановке объекта, или поток частичных отказов. В процессе локализации потока отказов определяется то, что длительность остановок объекта намного меньше времени его работы. Поэтому время восстановления работоспособности объекта не учитывается.
Зная функцию ω(ί), можно определить среднее число отказов за время t:
(60)
Если для восстанавливаемого объекта применяется экспоненциальный закон надежности с постоянным параметром λ для любого момента времени t, то для такого объекта в интервале 0 < t < ∞ принимается ω(t) - ω = λ. Тогда
(61)
В общем случае вероятностное уравнение параметра потока отказов имеет вид
(62)
Это интегральное уравнение устанавливает связь между ω(t) и λ(t), так как λ(t) выражается через f(t).
Однако это уравнение аналитически не решается, а решается с помощью преобразования Лапласа.
Общая структура такого решения имеет вид
(63)
По статистическим данным ω(t) определяется так:
(64)
где nх - число отказов или элементов, восстанавливаемых путем замены исправными;
N - общее число элементов.
nх(t) = n1(t) + n2(t);      (65)
n1(t) = f(t)N∆t   (66)

• число элементов, первоначально вышедших из строя за время ∆t из общего числа элементов при t = 0.

(67)

• число элементов, отказавших за время ∆t из числа замененных до момента t, τ - время, предшествующее ∆t.

Статистическая оценка среднего числа отказов (параметра потока отказов) для интервала времени ∆t может производиться также по формуле
(68)
где n(∆t) - среднее статистическое число отказов элемента за время At.
Для восстанавливаемых элементов применяется показатель Т0 - средняя наработка на отказ. Средняя наработка на отказ - это отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта t к математическому ожиданию числа его отказов M[n(t)] за время t (или среднее значение параметра потока отказов ω):
(69) где
среднее статистическое значение числа отказов объекта за время t.
Статистическое определение наработки на отказ выражается формулой
(70)
Показатель Т0 является важной и наглядной характеристикой безотказности различных восстанавливаемых объектов, а его числовые характеристики широко применяются для оценки их надежности.
В заключение отметим, что в пределах интервала времени, в котором
ω(t)=ω=const, поток отказов объекта можно считать простейшим (пуассоновским) стационарным. Простейший поток удовлетворяет следующим свойствам: стационарности (ω=const), отсутствию последствия (отказы объекта устраняются и работоспособность его полностью восстанавливается, а последующие отказы не зависят от предыдущих) и ординарности (возникновение нескольких независимых отказов маловероятно, а единичные отказы возникают редко). В этом случае вероятность возникновения η отказов объекта за время t (когда ω = const) определяется законом Пуассона:
(71)
Вероятность безотказной работы объекта за время t равна вероятности Р(n) при
так как средняя наработка на отказ
, тогда

(72)