Типизация узловых элементов и длин стержней осуществляется по законам структурной симметрии. Труднее поддаются типизации сечения стержней, их подбирают по расчетным усилиям. Для унификации стержней устанавливается градация сечений. Поиск оптимальной градации осложняется многократной статической неопределимостью структурных конструкций. Перебор вариантов связан с варьированием жесткостей и перераспределением усилий в системе, что требует повторных расчетов.
Проблема оптимизации сортамента стержней решается с учетом статистического распределения усилий. В любой структурной конструкции усилия изменяются от нуля до максимума. Установлено, что распределение усилий подчиняется статистическим законам, которые могут быть представлены в табличной графической и аналитической форме. Они описываются гистограммами, дифференциальными и интегральными кривыми. Для дальнейшего анализа наиболее удобны интегральные кривые, которые строятся в интервале от максимального сжимающего до максимального растягивающего усилий, возникающих в конструкциях при заданных условиях опирания и загружения. По оси абсцисс откладываются величины усилий, по оси ординат — накопленная частость (см. рис. 3.29) [33, 34].
Законы статистического распределения усилий стабильны и мало зависят от варьирования жесткостей стержней в конструкции. Интегральные кривые с достаточной точностью аппроксимируются аналитическими функциями на отрезках сжатия и растяжения. При наложении нескольких кривых на один график образуется плотный пучок линий (см. рис. 3.29) [33, 34].
Статистические характеристики распределения усилий могут являться объективными критериями эффективности вариантов конструкций и могут учитываться на начальных этапах проектирования. Среднее арифметическое усилий растяжения и сжатия и их среднее квадратическое отклонение характеризуют напряженное состояние конструкции. Положительный эксцесс, свойственный структурным конструкциям, говорит о преобладании недозагруженных элементов. Асимметрия, характерная для распорных конструкций, показывает превышение суммарного усилия сжатия над суммарным усилием растяжения и т. д. [33, 34].
Площадь между интегральной кривой и осями координат соответствует сумме внутренних усилий и эквивалентна минимальному расходу материала при подборе сечений каждого стержня по расчетным усилиям. На практике ограничивают сортамент стержней с более крупной градацией сечений. Тогда расход материала эквивалентен площади между ступенчатым графиком, построенным на интегральной кривой, и осями координат. Абсциссы ступеней соответствуют несущей способности принятых стержней, а ординаты — накопленной частости их повторения в конструкции.
Математически задача оптимизации сортамента сводится к построению ступенчатого графика на интегральной кривой и нахождению оптимального расположения заданного числа точек, при котором площадь между ступенчатым графиком и осями координат была бы минимальной. Площадь между ступенчатым графиком и интегральной кривой эквивалентна дополнительному расходу материала, связанному с унификацией элементов (см. рис. 3.29) [33, 34].
Задача оптимизации элементов может быть решена графически, аналитически и в численном виде. Интегральное распределение усилий аппроксимируется линейной, степенной, логарифмической, экспоненциальной функциями. Ближе всего экспоненциальные функции вида:
(3.63) Целевая функция минимальной массы записывается как наименьшая площадь под ступенчатым графиком, построенным на интегральной кривой:
(3.64)
Задача решается в частных производных после подстановки у из (3.63) в (3.64), что приводит к системе уравнений трансцендентного вида:
(3.65)
В уравнениях (3.63), (3.64) и (3.65): х, — расчетные усилия; у — накопленный итог частот; b и с — эмпирические коэффициенты, имеющие значения 6=0,1 —0,4, с«4.
Решение системы уравнений (3.65) приводит к оптимальной градации расчетных усилий, по которой комплектуется соответствующий сортамент элементов. Повторный расчет конструкции производится с учетом корректировки жесткостей. Итерационный процесс быстро сходится. Корректировка жесткостей заканчивается на втором-третьем цикле [33, 34].
Разработанная методика ориентирована на применение ЭВМ. Составлен алгоритм и программы решения задачи, которые включают в себя следующую совокупность действий и операций:
- Статистическая обработка величин расчетных усилий;
- Построение функции интегрального распределения усилий;
- Аппроксимация интегрального распределения аналитической функцией;
- Построение по интегральной кривой ступенчатого графика при фиксированном числе градаций =2, 3, 4, ..., п;
- Корректировка ступенчатой функции с учетом работы сжатых стержней на продольный изгиб и ограничения минимальных сечений предельной гибкостью стержней;
- Составление целевой функции минимальной массы;
- Решение системы уравнений и нахождение оптимальной градации несущей способности стержней при i=2, 3, 4, ..., п;
- Подбор сечений с максимальным приближением к теоретически оптимальной несущей способности стержней i=2, 3, 4, ..., п;
- Сравнение массы конструкции при разном числе типоразмеров и нахождение оптимального числа градаций стержней.
Более объективным критерием для выбора оптимального числа типоразмеров служит не масса конструкции, а приведенные затраты. Они учитывают стоимость материала, изготовления, монтажа и эксплуатации. Но эти параметры находятся в сложной зависимости, и выражение их в аналитической форме затруднительно. Поэтому на практике оптимальное число типоразмеров стержней принимается на основе сравнения дополнительных затрат при увеличении градаций и экономии от снижения материалоемкости.
