Глава третья
МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ВОДОХОЗЯЙСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ
3-1. Обзор методов моделирования случайных процессов
Одновременное моделирование многолетних и внутригодовых колебаний случайного водопотребления, испарения и речного стока может осуществляться различными способами. Первый из них был предложен в [Л. 63]. Он заключается в моделировании случайного процесса способом двойной выборки. Сначала любым из методов моделируется среднегодовой расход или годовое водопотребление, а затем для него производится случайная выборка модели внутригодового распределения стока (водопотребления) — так называемого фрагмента. Под фрагментом подразумеваются наблюдавшиеся в данном створе гидрографы реки или графики водопотребления, представленные в относительных ординатах, причем длительность интервала времени может быть любой (месяц, декада и др.).
Методов моделирования среднегодовых величин речного стока в настоящее время разработано очень много. Достаточно полные обзоры этих методов можно найти в [Л. 21, 54, 64]. Исследования в этом направлении в СССР продолжают вестись широким фронтом. В настоящее время определилось несколько направлений этих исследований.
Первое направление связано с использованием так называемой М-гипотезы (см. [Л. 26, 36—38] и др.). В ее основе лежит предположение о существовании однозначной связи между реальным моделируемым процессом с произвольным законом распределения вероятностей и нормально распределенным случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией [Л. 3]. Процедура нормализации последовательности сопровождается ее ортогонализацией [Л. 26]. Таким образом, исследуемая произвольно распределенная, случайная и коррелированная во времени последовательность приводится в результате указанных трансформаций к нормальной независимой последовательности. Моделирование последней на вычислительных машинах хорошо разработано.
Во втором направлении при создании новых способов моделирования годовых величин стока исходят из предположения, что годовой сток рек распределен в соответствии с трехпараметрическим гамма-распределением. Здесь идут либо путем непосредственного моделирования гамма-распределенных стоковых величин [Л. 14, 48], либо путем использования некоторых их трансформаций, чаще всего трансформаций в величины, равномерно распределенные в интервале (0,1) [Л. 54]. В первом случае требуется разработка исключительно сложного аппарата гамма-корреляции, во втором — корреляции между равномерно распределенными случайными числами. И те, и другие разработки для многомерных случаев еще не завершены. Выбор из множества решений здесь осложняется недостаточностью имеющихся в гидрологии представлений о совместной плотности распределения вероятностей стоковых величин. Из общих соображений можно лишь предположить, что такая плотность непрерывна относительно своих аргументов (см. [Л. 21]).
Общим для всех этих методов моделирования годовых величин стока и водопотребления является необходимость их сочетания с двойной случайной выборкой фрагментов внутригодового распределения.
Достоинство применения фрагментов заключается в том, что «... фрагмент, являясь моделью реально наблюдаемого гидрографа, автоматически учитывает корреляционную зависимость между расходами воды отдельных интервалов и, следовательно, характерное для данной конкретной реки и створа внутригодовое распределение стока. Располагая набором таких фрагментов в количестве, равном числу наблюденных лет, при достаточно длинном гидрологическом ряде будем иметь множество вариантов внутригодовых колебаний стока (гидрографов). Нет особой надобности доказывать, что подобное многообразие гидрографов с достаточно высокой степенью вероятности должно охватывать возможное поведение стока в будущем» [Л. 64].
При использовании метода фрагментов не требуется введения каких-либо допущений или гипотез относительно функций распределения вероятностей внутригодовых стоковых величин и схем их математического описания. Это достоинство метода фрагментов при сравнительно небольшой длине ряда наблюдений, с которой обычно приходится иметь дело в гидрологии, может превратиться и в недостаток, связанный с небольшой точностью, так как теоретические обобщения и использование на их основе гипотетических функций распределения вероятностей может давать более надежные результаты расчетов в областях высокой и низкой обеспеченности, чем по короткой выборке (см. выше). Несомненным достоинством метода фрагментов являются простота использования и возможность при необходимости проведения расчета по небольшим интервалам времени (пятидневки, недели, декады). С точки зрения использования ЦВМ для решения водохозяйственных задач по методу фрагментов можно отметить исключительную простоту программ. Имеется возможность учета при моделировании зависимости между водностью года и типом внутригодового распределения стока, что, несомненно, является его положительным качеством.
Метод двойной выборки может быть использован для моделирования процесса речного стока в несколько ином варианте. В нем, как и в методе фрагментов, сначала любым пригодным способом моделируются среднегодовые величины стока рек. Затем для каждой среднегодовой величины разыгрывается в относительных единицах (в. долях от годового стока) вариант «внутригодового распределения. При этом могут быть сделаны любые необходимые обобщения и приняты решения о схеме математического описания (количестве звеньев в марковской цепи) и о виде функции распределения вероятностей рассматриваемых стоковых величин. Один из возможных методов моделирования для многомерного случая с использованием двойной случайной выборки будет описан ниже, в § 3-2.
Другой путь учета внутригодовых колебаний речного стока заключается в непосредственном моделировании месячных или декадных стоковых величин. Различные вариации этого направления описываются в работах [Л. 27, 31, 52, 83] и др. В работе [Л. 31] для моделирования используется распределение Пирсона III типа, в работах [Л. 52, 83] и др. — нормальное распределение. И в той, и в других работах применена схема простой марковской цепи. Несколько иной прием выделения случайной составляющей стока предложен в [Л. 27]. Описание этого направления моделирования речного стока будет дано в § 3-3.
Существенным недостатком методов моделирования речного стока, использующих нормально распределенные случайные числа, является небольшая вероятность появления в искусственном ряду в отдельные месяцы отрицательных величин, что чаще всего не может быть объяснено физическими соображениями, связанными с моделируемыми процессами. В работе [Л. 52] отрицательные величины заменялись нулями, а в работе [Л. 2] и § 3-3 — некоторыми положительными величинами, находящимися в определенном соотношении с наблюдавшимися минимальными величинами стока реки. Такая операция обычно не сказывалась существенно на характеристиках искусственного ряда и результатах водохозяйственного расчета [Л. 2]. Тем не менее ее вряд ли можно считать наилучшим выходом при моделировании речного стока.
Третье направление является еще одной разновидностью способа моделирования внутригодового распределения речного стока и случайного водопотребления. Оно разрабатывается в СССР, получило распространение в последние годы и связано с моделированием не самих величин месячного (декадного) стока, а тех или иных его трансформаций. Вид трансформирующих функций выбирается таким образом, во-первых, чтобы, привести асимметрично распределенные величины к нормальному виду, а во-вторых, чтобы исключить при моделировании возможность появления отрицательных величин стока.
Приведение асимметрично распределенных величин к нормальному виду (нормализация) может производиться различными способами [Л. 3, 37, 38]. При этом не требуется специальных математических разработок в области многомерного корреляционного анализа, ибо здесь применима теория нормальной корреляции. При нормализации величин многие операции существенно упрощаются. Например, даже криволинейные монотонные корреляционные связи преобразуются в линейные [Л. 3] и т. д.
Достоинством приема нормализации является последующая простота использования нормализованных величин при моделировании речного стока и водопотребления, а также при проведении водохозяйственных и водно-энергетических расчетов аналитическими методами. Последнее представляет особый интерес при использовании в водохозяйственных системах методов стохастического управления режимами работы каскадов водохранилищ. Они успешно развиваются в СССР в последние годы. Исследования в указанном направлении представляют интерес, но далеки от завершения. Их основные результаты приведены в приложении I.
