2-2. Характеристики речного стока и некоторые вопросы оценки параметров его распределения
Основным случайным процессом, подлежащим моделированию в водохозяйственных системах, кроме приведенных выше- характеристик случайно изменяющегося водопотребления и испарения, как указывалось выше, является речной сток. Изменениям речного стока во времени присущи на разных реках различные, но обычно периодически повторяющиеся спады и подъемы водности.
Наличие или отсутствие периодических ежегодных подъемов водности рек обусловливается стокообразованием в их бассейнах и влиянием на колебания речного стока вращения Земли вокруг Солнца. В колебаниях речного стока прослеживается также многолетняя цикличность различной продолжительности, которая объясняется влиянием на сток рек различных циклически изменяющихся гелио- и геофизических процессов, а также регулирующим влиянием водосборов (озера, запасы подземных вод, запасы вечных снегов и ледников в бассейне реки).
Случайный характер процессов стока во времени можно объяснить большим количеством влияющих на него случайных факторов. В настоящее время невозможно точно установить количественное влияние многих из этих факторов. Однако даже в тех случаях, когда оно известно, надежно предсказать поведение того или иного стокообразующего фактора, как правило, оказывается также невозможно, так как он сам является результатом случайных причин. Большинству стокообразующих факторов в значительной степени присуща многолетняя и внутригодовая цикличность.
Сток большинства рек является непрерывным случайным процессом, включающим те или иные достаточно сложные циклические компоненты. В более редких случаях такие циклические компоненты отсутствуют, либо (крайне редко) сток является прерывным процессом с циклической компонентой.
Для проведения водохозяйственных расчетов необходимо математическое описание процесса речного стока. Исходной информацией для построения этого описания могли бы служить в каждом рассматриваемом створе реки непрерывные зависимости расхода воды от времени за достаточно длительный период наблюдений. Однако на большинстве гидрологических постов непрерывные наблюдения не только за расходами воды, но и за уровнями воды в реке обычно не ведутся. В современных гидрологических ежегодниках приводятся среднесуточные данные наблюдений за стоком рек. Следует отметить, что для подавляющего большинства рек, представляющих интерес для водохозяйственного и энергетического использования, разница между мгновенными расходами воды в реке в пределах суток и соответствующими среднесуточными расходами очень мала [Л. 35]. Исключение составляют реки со значительной долей интенсивного, но кратковременного ливневого питания, и высокогорные реки с ледниковым питанием, зависящим от суточного хода температуры воздуха и интенсивности солнечной радиации.
В водохозяйственной практике для различных видов расчетов используются разные интервалы осреднения расходов реки, выбираемые из соображений минимальной трудоемкости при сохранении необходимой точности. Наибольшее распространение получили суточные, декадные, месячные и годовые интервалы осреднения.
При проведении расчетов сезонного регулирования стока обычно достаточно месячное, реже — декадное осреднение, так как колебания стока за меньшие интервалы времени практически не оказывают влияния на результаты расчетов регулирования. В расчетах пропуска паводков при проектировании мероприятий по борьбе с наводнениями или в расчетах по определению необходимой пропускной способности водосбросных сооружений требуется суточное, а иногда и более краткосрочное (до нескольких часов) осреднение.
Практика проектирования показывает, что в разных водохозяйственных расчетах не только допустимы, но и целесообразны различные величины временного осреднения исходных данных. Поэтому для решения большинства водохозяйственных задач целесообразно отказаться от описания колебаний речного стока как непрерывного случайного процесса и представлять его в виде случайного процесса с дискретным временем.
Таким образом, исходным положением является задание статистического материала о колебаниях речного стока в виде некоторого временного ряда с определенным интервалом осреднения, т. е. в виде последовательности наблюдений, полученных в равноотстоящие моменты времени. Для описания колебаний речного стока может быть использована вероятностная модель, называемая случайным процессом с дискретным временем. Эта модель применительно к сколько угодно сложной водохозяйственной системе представляет собой семейство случайных величин Qt, принимающих только действительные и положительные значения.
В соответствии с требованиями сезонного и многолетнего регулирования речного стока в дальнейшем в данной работе будет принят месячный интервал осреднения. Естественно, что при моделировании речного стока должны быть учтены и внутригодовые, и многолетние закономерности колебаний речного стока.
Возможны два пути исследования указанных колебаний речного стока: а) раздельное, т. е. изучение сначала многолетних колебаний стока, а затем наложение на них внутригодовых; б) совместное, т. е. изучение закономерностей стока как единого процесса. Оба эти пути используются в гидрологии. Применительно к ним в гл. 3 будут даны и два основных способа моделирования гидрологических рядов.
Для описания процесса стока при разделении многолетних п внутригодовых его колебаний обычно требуется выбрать: а) гипотетический закон распределения вероятностей среднегодовых величин стока и соответствующий ему аппарат корреляции, служащий для выражения связи между стоком реки в данном пункте в данный интервал времени и стоком реки в предшествующие интервалы времени в данном и в других пунктах системы; б) вид зависимостей между внутригодовым распределением стока и его среднегодовой величиной; в) параметры распределения стоковых величин и характеристики указанных связей и зависимостей по ряду наблюдений ограниченной длины. В тех случаях, когда те или иные выборочные оценки не удовлетворяют необходимой точности и имеются возможности косвенными способами (например, с помощью группового анализа) улучшить эту точность, элементом предварительного анализа становится выбор и обоснование отдельных статистических параметров речного стока.
Для оценки параметров распределения стока по ряду наблюдений обычно используется метод моментов. Он широко известен в инженерной гидрологии и состоит в том, что искомые параметры гипотетического закона распределения вероятностей величин среднегодовых расходов выражаются через его моменты.
Обычно в качестве гипотетического безусловного и условного закона распределения вероятностей годовых расходов принимается трехпараметрическое гамма-распределение, которое определяется тремя параметрами — средним значением Q0, коэффициентом вариации Сυ и отношением коэффициентов асимметрии и вариации
.
Выражения для оценки безусловных параметров Q0, 
общеизвестны [Л. 41 и др.] и здесь не приводятся. Условные параметры
определяются по безусловным параметрам и значениям стока в предыдущие годы на основании принятого аппарата корреляции. При этом коэффициенты автокорреляции, как и остальные параметры, находятся по данным наблюдений.
Метод моментов позволяет по имеющимся гидрологическим рядам длительностью в 30—60 лет с приемлемой для практики точностью определять лишь параметры Q0 и Сυ. Поэтому на протяжении ряда лет в гидрологии ведутся исследования по разработке методов, позволяющих извлекать из данных наблюдений больше информации. Одним из таких методов является метод наибольшего правдоподобия.
Суть этого метода состоит в том, что в качестве оценок параметров принимаются оценки, определяющие такой процесс колебаний среднегодовых расходов, в котором вероятность появления, наблюдавшегося в прошлом гидрологического ряда является наибольшей. Вместо упомянутой вероятности обычно рассматривается так называемая функция правдоподобия L, пропорциональная этой вероятности. Решение задачи методом наибольшего правдоподобия состоит в том, чтобы найти такие параметры принятого распределения вероятностей колебаний среднегодовых расходов рассматриваемой реки в некотором створе, при которых функция правдоподобия, вычисленная по наблюденному в этом створе гидрологическому ряду, достигает максимального значения.
Приемы определения Q0, Cv и Cs/Cv методом наибольшего правдоподобия применительно к гидрологическим рядам разработана Е. Г. Блохиновым [Л. 13]. Она весьма трудоемка и в ряде случаев не приводит к определенному решению.
Методика, изложенная в [Л. 13], сводится к вычислению по наблюденному ряду относительно простых статистик, которые позволяют с помощью специальных номограмм найти значения
. При этом внутрирядная связность не учитывается.
В последние годы в институте «Энергосетьпроект» сделаны попытки учесть коррелированность гидрологических рядов при оценке их параметров распределения методом наибольшего правдоподобия.
Метод наибольшего правдоподобия позволил несколько увеличить точность определения характеристик Cv и Cs/Cv. Однако в настоящее время по имеющимся гидрологическим рядам можно более или-менее точно определять только значения Q0 и Cv. Параметры Cs/Cv и автокорреляционная функция очень часто принимаются на основе определения их значений с помощью группового анализа (см. [Л. 21] и др.).
В этом анализе требуется учитывать связи между самими исследуемыми рядами, ибо если эти связи значительны, то при групповом анализе приращение точности оценки осредненных характеристик не является прямо пропорциональным количеству включенных в анализ рядов.
*Зубарев В. В. Алгоритм определения параметров коррелированных рядов среднегодовых расходов рек методом наибольшего правдоподобия. — Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума «Оптимизация режимов и параметров гидроэлектростанций и водохозяйственных систем». М., 1973 (АН СССР, Минэнерго СССР, Московское правление НТОЭЛ).
Следует также отметить, что коэффициенты корреляции между расходами лет, отстоящих друг от друга на два или более лет, настолько малозначимы, что часто приходится ограничиваться учетом связанности лишь между расходами смежных лет. Решению вопроса о наличии дальних связей не всегда помогает применение к исследованию гидрологических рядов спектрального анализа [Л. 21].
Исследование закономерностей внутригодового распределения речного стока хорошо описано в учебной литературе (см. [Л. 6]). Применительно к моделированию речного стока раздельным способом оно сводится к установлению зависимости между характером внутригодового распределения и водностью года.
Применительно к изучению и моделированию непосредственно месячных величин задача исследований значительно сложней. В этом случае требуется: 1) выбрать вид и оценить параметры распределения вероятностей стоковых величин за отдельные месяцы; 2) оценить корреляционную матрицу связи между отдельными месяцами. В некоторых случаях этот анализ дополняют оценки параметров распределения и автокорреляционных характеристик непрерывного ряда месячных величин речного стока.
Способы оценки параметров в этом случае аналогичны применяемым при исследовании годового стока рек. Только здесь дополнительные методы, в частности групповой анализ, чаще всего применить не удается. Это вынуждает ограничиваться только выборочными, нередко весьма неточными, оценками.
Следует заметить, что этим неточным оценкам нередко противопоставляются характеристики внутригодового распределения стока при раздельном способе исследования. Оценки точности последних, как правило, затруднены, их не производят, что создает иллюзию высокой надежности выводов таких исследований. С нашей точки зрения, такие исследования практически равноценны, ибо в их основе лежит одна и та же информация, а методы в основе своей имеют мало отличающуюся точность. Отличие заключается лишь в том, что в одном случае вводится гипотеза в виде функции, распределения, а при раздельном методе исследования априори принимается гипотеза об ограничении внутригодового распределения стока ситуациями, уже наблюдавшимися в прошлом. При непосредственном исследовании, месячного стока такое ограничение не вводится, а, наоборот, допускаются ситуации, выходящие за пределы наблюденных данных, но со сравнительно небольшой вероятностью, определяемой в основном видом гипотетической функции распределения вероятностей.
Одним из мотивов противников непосредственного исследования н моделирования месячного стока является неправомочность статистической обработки физически неоднородных величин. В соответствии с работой Н. А. Картвелишвили [Л. 37] это возражение не является верным, ибо «... Степень влияния различных стокообразующих факторов на фазовооднородные расходы в различные годы различная. Уже по одному этому понятие фазовой однородности теряет четкий смысл и становится весьма неопределенным, пригодным только для качественных рассуждений, но не для количественного анализа ... Переход от одной фазы стокового цикла к другой характеризуется исчезновением влияния на сток одних стокообразующих факторов и появлением влияния других. Но такой переход совершается не в какой-то определенный момент, а занимает определенное время, в результате чего границы между фазами становятся расплывчатыми и неопределенными».
Кроме приведенной цитаты, следует также отметить, что фазовая неоднородность не исключается и при исследовании среднегодовых величин речного стока. Это происходит из-за того, что паводок на реках проходит в разное время, а полный гидрологический цикл не имеет постоянной длительности. Он колеблется в отдельные годы от 10 до 13 мес. и более. Календарное непостоянство фазовооднородных величин стока (половодья и межени) и неточное равенство длительности гидрологического цикла календарному году делают и месячные и годовые величины стока в значительной степени одинаково фазовонеоднородными. Однако как годовой сток реки характеризует годовую величину ресурса воды в данном створе, вне зависимости от ее происхождения, так и месячный (декадный и др.) сток является характеристикой ресурса воды, имеющейся в реке в течение того или иного месяца (декады и др.).
Таким образом, указанные выше соображения, видимо, в достаточной степени подтверждают правомерность использования и того, и другого пути исследования внутригодовых и многолетних колебаний речного стока.
Соответственно этим путям исследования возможны различные способы моделирования речного стока, испарения, водопотребления. За последние годы число разработанных методов моделирования гидрологических рядов превысило два десятка. Их подробное описание заняло бы слишком много места и выходит за рамки данной работы. Однако краткий обзор существующих методов моделирования с более подробным описанием двух из них будет сделан в гл. 3 данной работы.
