Переходные процессы можно изучать методами математического и физического моделирования вплоть до натурного эксперимента. Однако в связи с развитием цифровой вычислительной техники практически наиболее удобно и экономически оправдано для расчета переходных процессов применять устойчивые численные алгоритмы. Особенно высокие требования предъявляются к численным методам при расчете аварийных ситуаций, рассматриваемых как переходные процессы наиболее общего вида, еще не перешедшие в фазу аварии.
Действительно, по сравнению с плановыми переходными режимами, когда возмущение ограничено и задано положением органов управления, переходные процессы при аварийных ситуациях предполагают гораздо более широкий спектр возмущений, включая изменения проходных сечений каналов и трубопроводов, схемы течения теплоносителя при локальных разрушениях стенок и т. п. Вносимое возмущение, диапазон изменения параметров не следует ограничивать, в том числе не следует исключать возможность локального или общего опрокидывания циркуляции, достижения околозвуковых скоростей, изменения режима теплоотдачи. Требуется детальное описание исследуемого объекта с учетом распределенности параметров по длине и радиусу активной зоны реактора, в петлях первого контура и других элементах теплогидравлической схемы. Должна быть также обеспечена возможность оперативного внесения изменений в расчеты, связанных с корректировкой диаграммы пуска, уставок АЗ и даже конструкции установки. Ясно, что решение этой задачи возможно лишь с применением современной ЭВМ достаточно высокого класса.
Общая задача динамики установки разделяется на задачу теплогидравлическую, описываемую уравнениями сохранения количества движения, массы и энергии, а также уравнениями нестационарной теплопроводности, и задачу нейтронной кинетики. Во многих случаях для решения последней используется «точечное» приближение, которое описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений [157]. Для решения этой системы разработано много эффективных методов.
В дальнейшем рассматривается лишь теплогидравлическая задача, для решения которой в настоящее время нельзя указать единого и общепринятого алгоритма. Опыт расчета нестационарных процессов показал, что наибольшие трудности возникают при описании сложных теплогидравлических схем с узлами коллекторного типа, передающими влияние одних петель или трактов схемы на другие. В первом случае наиболее надежен так называемый метод узловых переменных, снимающий вопрос о сходимости итерационного процесса, поскольку в линейном приближении степень взаимного влияния узлов и трактов схемы вычисляется точно с помощью линейно-алгебраических преобразований. Идея применения этого метода для решения нестационарной теплогидравлической задачи в газоохлаждаемом реакторе впервые, по-видимому, была высказана в работе [166]. Однако его реализация в расчетных алгоритмах, разработанных автором [166], страдает рядом недостатков, главный из которых — ограниченная устойчивость. Кроме того, математическая модель, предложенная этим же автором для расчета неизотермических течений, содержит искусственные условия линейности, замыкающие систему уравнений переноса энергии в трактах с дефицитом в четыре уравнения в окрестности узлов гидравлической сети. Эти условия не имеют физического смысла и ухудшают сходимость и точность вычислений. В данной главе рассмотрен иной вариант дискретизации исходных уравнений сохранения, обеспечивающий естественное замыкание системы. Для успешного применения метода узловых переменных необходимо, чтобы разностные уравнения, заменяющие исходные, были формально линейными. Это достигается «замораживанием» их коэффициентов на каждой итерации. При переходе к следующей итерации эти коэффициенты уточняются по новым значениям неизвестных.
Баланс тепла в элементе твердой стенки, ограниченном двумя цилиндрическими поверхностями радиусами r1 и r2, без учета теплопроводности вдоль оси канала можно записать следующим образом:
(7.4) где
Тст — температура стенки,
— линейный тепловой поток с границы элемента, Вт/м; λ — коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К).
Соотношения (7.1) — (7.4) можно преобразовать в дифференциальные уравнения с частными производными для строго одномерного случая. В рассматриваемой методике эти уравнения используются только для построения граничных условий. Для внутренних точек счетной области основными рабочими соотношениями являются разностные схемы, полученные непосредственно из уравнений баланса вида (7.1) — (7.4). Чтобы решение задачи было единственным, уравнения (7.1) — (7.4) дополняют начальными и граничными условиями и другими условиями однозначности, т. е. определяют вид функций Iтр, qh qv, IК, теплофизические свойства веществ и уравнение состояния теплоносителя. Уравнения вида (7.1) — (7.3) пригодны для описания движения однофазных теплоносителей, находящихся в состоянии химического равновесия. В целом задачу (7.1) — (7.4) можно квалифицировать как нелинейную двухмерную эволюционную задачу с граничными условиями. Решить ее аналитически нельзя.
Применение метода узловых переменных возможно при любом способе аппроксимации интегралов в уравнениях (7.1) — (7.3), обеспечивающем устойчивость полученных конечно-разностных схем. Чаще всего применяются неявные абсолютно устойчивые схемы первого порядка аппроксимации по времени и первого или второго порядка по пространственной переменной (двухточечные и трехточечные схемы). Трехточечные схемы (см. сеточный шаблон на рис. 7.1) обеспечивают более высокую точность по сравнению с двухточечными схемами при одном и том же числе участков в счетной области. Кроме того, трехточечные схемы автоматически удовлетворяют требованию возможности расчета опрокидывания циркуляции, поскольку они устойчивы при любом направлении течения теплоносителя, поэтому в описываемой методике используются только трехточечные схемы.
При записи конечно-разностных схем для уравнений (7.1) — (7.4) используются результаты работ [167, 168], в которых А. А. Самарский обосновал интегро-интерполяционный метод составления разностных схем, дающий дивергентные однородные схемы, пригодные для сквозного счета без введения уравнений- связок на границах участков с разрывом коэффициентов.
Нетрудно показать, что система (7.30) преобразуется в систему, коэффициенты (матрицы) каждого из векторных уравнений которой расположены на трех диагоналях. Такая система решается матричной прогонкой по известным формулам (см., например, [168]), в которых коэффициенты интерпретируются как матрицы, а операции деления — как умножение на обратную матрицу. Однако оценка количества арифметических действий, необходимых для реализации такого способа решения (около 24(N + 1)3), заставляет искать более экономичный путь решения. Таковым может быть встречное исключение неизвестных от начального и конечного уравнений системы (7.30) по направлению к среднему, в результате чего получаются два линейных уравнения вида φι(Τ3, Т4)=0 и φ2(Τ3, Т4)=0, для решения которых требуется лишь одно обращение матрицы общего вида порядка М+1 [количество действий около 2(М+1)3]. Опустив промежуточные выкладки, выпишем решение системы (7.30):
где
Зная вектор Т4, нетрудно найти и остальные неизвестные: 
Векторы Т2, Т3, Т5, Т6 вычисляют из последних четырех уравнений системы (7.30), Т0 — из соответствующего балансового уравнения.
Перенумеровав неизвестные, систему (7.30) можно записать в блочном виде и получить векторы (т. е. одномерные поля) температуры потоков теплоносителя (являющихся аналогом неизвестных давлений в узлах гидравлической сети) по общей формуле, приведенной выше при описании решения гидравлических задач общего вида. Однако и в этом случае количество арифметических действий не будет минимальным, так как потребуется дважды обратить матрицу общего вида размерности М + 1.
Заканчивая на этом иллюстрацию применения метода узловых переменных в сложных трудоемких задачах расчета нестационарных теплогидравлических процессов в газоохлаждаемых реакторах, заметим, что при проектировании газоохлаждаемых реакторов и проведении исследований по обеспечению безопасности возникает ряд задач, решение которых в первом приближении может быть получено без использования громоздких алгоритмов, реализуемых на ЭВМ. В приложениях 5—7 приведены оценочные аналитические решения некоторых задач подобного типа.
