4.2.1. Одномерные распределения
Определение распределения температуры в твэлах, замедлителе и других конструкционных элементах активной зоны — одна из основных задач теплового расчета реактора. Распределение температуры находят, решая уравнение теплопроводности
(4.1)
В практике теплогидравлических расчетов, как правило, рассматриваются стационарные процессы.
Уравнение теплопроводности имеет однозначное решение, если заданы граничные условия, с учетом геометрической формы твэла и процессов на границах раздела с окружающими телами или средой.
Поэтому уравнение (4.1) принимает вид
(4.2)
В общем случае граничные условия предполагают равенство температур и тепловых потоков на границах раздела. В случае граничных условий первого рода задается распределение температуры на поверхности тела
(4.3) при граничных условиях второго рода — распределение плотности теплового потока на поверхности
(4.4)
при граничных условиях третьего рода используется закон конвективного теплообмена Ньютона—Рихмана
(4.5)
Здесь и далее индекс «ст» относится к параметрам на стенке, «г» — к параметрам газового теплоносителя. Если значительно влияние лучистого теплообмена, граничные условия принимают вид
(4.6)
Вообще говоря, чтобы определить распределение температуры, нужно решить сопряженную задачу, т. е. найти распределение температур одновременно и в твэле, и в окружающей его среде (причем для последней необходимо еще и найти распределение скорости теплоносителя). Однако решение сопряженной задачи связано со значительными вычислительными трудностями и на практике чаще -всего пользуются традиционными методами решения уравнения теплопроводности с соответствующими граничными условиями. При этом в твэлах простых геометрических форм рассматривается одномерное распределение температуры в предположении, что градиент температуры в поперечном направлении за счет отвода тепла в теплоноситель значительно больше градиента в осевом направлении вдоль твэла. Следует заметить, что реальные формы твэлов наиболее близки к конфигурации пластины, стержня, полого цилиндра, шара, причем применяют в основном многослойные конструкции, так как топливный сердечник твэла, как правило, помещен в одну или несколько защитных оболочек, в которых так же, как и в топливе, имеются внутренние источники тепла. Например, микротвэл представляет собой сферический топливный керн из UO2 или UC, окруженный защитными слоями из пирографита разной плотности, карбида кремния или осажденного из газовой фазы ванадия, вольфрама и т. п. В одном из вариантов шарового твэла предполагается топливную матрицу размещать в виде слоя вокруг графитового сердечника и покрывать защитным графитовым слоем (см. рис. 4.6). В стержневом твэле между топливным блоком и защитной металлической оболочкой существует зазор, заполненный газом или жидким металлом.
Рис. 4.6. Температурное поле в многослойном шаре
Многослойной шар. Шаровой твэл имеет, как правило, наружное охлаждение (рис. 4.6). Распределение температуры в каждом слое многослойного шара описывается уравнением вида:
(4.22)
Отсчет слоев производится от наружного радиуса к центру шара, причем температура наружной поверхности шара определяется по формуле
(4.23)
Распределение температуры в центральном сплошном шаре определяется по формуле
(4.24)
Таким образом, приведенные выше зависимости позволяют рассчитывать распределение температуры в многослойных конструкциях плоской, цилиндрической и шаровой формы. При этом несмотря на то, что они получены при условии qv = const и λ=const в каждом слое, их можно применять и при расчете распределения температуры с переменным тепловыделением по толщине твэла, а также при коэффициентах теплопроводности материалов, существенно зависящих от температуры. Для этого твэл разбивается на столько слоев, сколько необходимо для аппроксимации нелинейной зависимости кусочно-линейной функцией.
Двухмерные распределения
Аналитическое описание распределения температуры в твэлах путем решения одномерного уравнения теплопроводности возможно лишь для тел простейшей геометрической формы: пластины, цилиндра, шара. В иных случаях, например в твэлах призматического типа (см. рис. 4.1, а, б), в шестигранных или четырехгранных блоках замедлителя, при наличии ребер, неидеальном контакте топлива с оболочкой, несимметричном тепловыделении, неравномерном теплоотводе по периметру твэла в плотных пучках стержней и т. п., необходимо решить двухмерное уравнение теплопроводности, которое при записи, например, в цилиндрических координатах имеет вид:
(4.25)
Аналитическое решение двухмерного уравнения теплопроводности в телах сложной геометрической формы или при неравномерном тепловыделении весьма затруднительно. Поэтому на практике распределение температуры в твэле находится численными методами или методами электротепловой аналогии. При чиненном решении дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных типа (4.25) заменяется линейной системой конечно-разностных уравнений [105]. В зависимости от конкретной задачи решение системы конечно-разностных уравнений осуществляется по явной или неявной схеме. Однако и в этом случае решение такой системы является достаточно трудоемкой задачей как с точки зрения объема вычислительных операций, так и загрузки оперативной памяти ЭВМ, особенно при включении этой системы в теплогидравлический расчет реактора.
Рис. 4.7. Варианты размещения каналов охлаждения в массиве с тепловыделением: а — треугольная решетка; б — прямоугольная решетка
Решение уравнения теплопроводности методом электроаналогии осуществляется на электропроводной бумаге или на электроинтеграторах [106]. В основу метода положена идентичность математического описания распределения температуры и электрического поля.
Для простых тел с постоянными внутренними источниками тепла, имеющих двухмерное распределение температуры, существуют аналитические приближенные решения, которые весьма удобны для использования в теплогидравлических расчетах. К таким телам относятся однородные тепловыделяющие массивы, пронизанные цилиндрическими каналами, по которым проходит теплоноситель, и расположенные по треугольной или четырехугольной решетке (рис. 4.7). Симметричное расположение каналов охлаждения позволяет в обоих случаях выделить элементарную ячейку для расчета (рис. 4.8), ограниченную тремя адиабатными плоскостями и поверхностью теплоотвода с температурой Тст.
В работе [104] приведено приближенное аналитическое решение уравнения (4.25) методом разделения переменных, которое для максимального перепада температуры между наиболее удаленной точкой элементарной ячейки и стенкой канала записывается как
(4.26) где
для треугольной решетки (при φмакс = 30°) и
для четырехугольной решетки (при φмакс= 45°). Здесь b — расстояние наиболее удаленной точки С от центра канала охлаждения; r0 — радиус канала.
В работе [107] для расчета тепловыделяющих массивов с охлаждающими каналами рекомендуется приближенная зависимость В. О. Фогеля
(4.27) которая получается путем сложения перепадов температуры по двум адиабатным линиям AD и CD (см. рис. 4.8), причем по линии CD перепад температуры представляется по формуле 
а по линии AD— по формуле, справедливой для расчета цилиндра с внутренним охлаждением,
(4.28)
В инженерной практике при расчете многогранных тепловыделяющих блоков часто используют прием замены многоугольника эквивалентной по площади окружностью радиусом r2 и вычисляют максимальный перепад температуры по формуле (4.28) для цилиндра с внутренним охлаждением (если вместо s2 взять r2). При этом наружный радиус эквивалентного цилиндра для шестиугольного блока
а для квадратного блока
Из рис. 4.9, где сравниваются максимальные перепады температуры, полученные по рассмотренным выше различным приближениям, видно, что при малых значениях величин b/r0 имеются значительные расхождения для различных приближений, особенно при расположении каналов охлаждения по квадратной решетке.
Рис. 4.9. Максимальный перепад температуры в тепловыделяющем массиве с каналами охлаждения, расположенными по треугольной (а) и квадратной (б) решеткам:
1— приближение по формуле (4.26); 2 — приближение по эквивалентному цилиндру; 3 — приближение по формуле (4.27)
Из всех приближений наиболее корректны зависимости (4.26), но для треугольной решетки вполне удовлетворительны приближения максимального перепада температуры по эквивалентному цилиндру.
§ 4.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН И ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ В КАНАЛАХ РЕАКТОРА
В каналах газоохлаждаемых реакторов конвективный теплообмен — преобладающий процесс теплоотвода. Циркуляция теплоносителя осуществляется в основном принудительным способом. Однако в некоторых случаях, например в режимах расхолаживания или малых нагрузок, возможно использование естественной циркуляции, при которой движущий напор создается за счет разности масс холодного и горячего столбов газа.
Возможность работы реакторов при различных нагрузках требует от исследователей изучения теплообмена и гидродинамики в каналах в широком диапазоне чисел Re, включая ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения, а также определения границ перехода от одного режима течения к другому для каналов различной формы.
Для конструкций ТВС, о которых упоминалось в § 4.1 настоящей главы, по данным работ [104, 107—117] в приложении 3 приведены формулы расчета коэффициентов теплоотдачи и гидравлического сопротивления в каналах различной формы.
