Если требуется определить потенциал только в ограниченной области поля, можно получить оценочное значение потенциала в определенной точке с помощью метода Монте-Карло.
Очень легко управлять случайным обходом с постоянным интервалом, при этом необходимо лишь точно установить пределы областей. Однако каждый случайный путь требует большого числа шагов, и поэтому данный метод малопригоден для практического применения. Более предпочтительным методом определения потенциала является метод с переменным шагом, предложенный впервые Мюллером [5.14].
Основы метода.
Этот метод основан на использовании теоремы о среднем из теории потенциала, согласно которому потенциал Ф(Р) центра шара равен среднему значению потенциала Φ(Ρί) на его поверхности А, т. е.
(5.69)
Теорема о среднем используется в стохастической форме: в каждой рассматриваемой точке Р поля начинается путь случайного обхода, шаг которого выбирается с учетом геометрического расстояния до ближайшей поверхности электрода. Этот процесс продолжается, пока обход не закончится на поверхности электрода или вблизи нее. Точке Р приписывается потенциал этого электрода. Если из точки Р начинаются многие случайные обходы, то получается статистическая взаимосвязь оцениваемого значения Ф(Р) и известных потенциалов электродов.
Достоверность полученного значения Ф(Р) можно оценить по легко рассчитываемому разбросу.
Если потенциалы известны, то напряженность поля в точке Р определяется по производной функции Грея для шара [5.15].
В первоначальной форме этот способ при расчете напряженности поля на электродах и учете границ диэлектрических сред вызывал трудности, которые, однако, в дальнейшем были преодолены [5.16, 5.17].
5 .2.4.2. Расчет напряженности на краях электродов.
Вследствие конечного пути случайного обхода значение потенциала вблизи электрода ненадежно. Решение может быть существенно улучшено путем удлинения первых случайных шагов, при этом часть обходов заканчивается уже за электродами в пространстве, свободном от поля. Для этих конечных точек можно определить кажущиеся потенциалы, решив линейную систему уравнений, как при способе эквивалентных зарядов.
Эти потенциалы вместе со статическими потенциалами точек поля образуют контур электрода. Для расчета напряженности на краях электродов привлекаются кажущиеся потенциалы.
5.2.4.3. Расчет поля в слоистых диэлектриках.
Для шара, находящегося в средах с различными диэлектрическими проницаемостями εr1 и εr2 и границей раздела — плоскостью, проходящей через центр шара, потенциал согласно (5.69)
Среда с большей диэлектрической проницаемостью оказывает большее влияние на потенциал в центре шара. Соответственно должно быть более весомым и математическое ожидание функционала потенциала.
Это можно показать, если рассмотреть отражение на границе раздела. Если случайный шаг заканчивается на границе раздела А1, то при
это должно происходить с вероятностью
С вероятностью — ра шаг отражается в полупространство А2. Таким способом можно удовлетворить условия перехода границы раздела диэлектрических сред.
