Силовой трансформатор представляет собой в математическом смысле многомерную систему, характеристики которой определяются сочетаниями переменных хj, принадлежащих множеству А:
Система (трансформатор) может быть полностью или частично описана рядом нелинейных уравнений, устанавливающих взаимосвязь параметров и характеристик трансформатора с переменными величинами Xj:
(4.1) ;
где ί=1, 2........... , m и j= 1, 2,..., п.
В другом случае связь переменных хj с параметрами и характеристиками трансформатора регламентируется неравенствами, которым должны удовлетворять найденные сочетания переменных
(4.2)
Поскольку число переменных п, формирующих трансформатор, обычно превышает число уравнений m, то имеем многие сочетания переменых хj, удовлетворяющие заданным условиям. Получение большого количества состояний трансформатора внутри множества с заданными параметрами и характеристиками открывает возможность выбора из них наилучшего состояния с точки зрения еще одного, дополнительного условия, которым является получение минимального (максимального) значения технико-экономического показателя трансформатора.
Дополнительное условие записывается также в виде функциональной зависимости от принятых переменных
(4.3)
где Ц — целевая функция.
Функции (4.1) и (4.2) являются, по существу, заданными техническими требованиями к трансформатору, а функция (4.3) — целевой технико-экономической характеристикой. Функции (4.1) и (4.2) при решении задачи оптимизации заданы, а принятые независимые переменные удовлетворяют условию неотрицательности. В качестве дополнительного требования может фигурировать условие дискретности изменения части или всех переменных.
В представленном виде имеем задачу нелинейного программирования с ограничениями вида (4.1) или (4.2), при этом часть или все переменные должны изменяться на дискретном множестве значений, оговоренных техническими условиями.
В общем виде подготовка и решение этой задачи включают:
- Математическое описание оптимизируемого объекта, в нашем случае трансформатора. Трансформатор описывается системой уравнений и неравенств, связывающих характеристики, параметры, геометрию трансформатора с изменяемыми факторами расчета, принятыми в качестве варьируемых переменных. В ряде случаев, например из-за сложности получения конечных уравнений, математическое описание может быть представлено рядом последовательных формул, приведенных к виду расчетного алгоритма. Сложность получения конечных уравнений может быть связана с наличием неравенств, с нелинейностью некоторых характеристик и трудностью их аппроксимации, с необходимостью использования большого количества табличных значений, наконец, чрезмерной громоздкостью конечных выражений.
- Математическое описание принятого критерия оптимальности спроектированной системы — целевой функции (4.3), которая позволяет количественно оценить эффективность выбора варианта.
- Поиск с помощью алгоритма оптимизации сочетаний переменных, которые будут удовлетворять заданным условиям на проектирование, т. е. решение задачи принятым методом.
Таким образом, задача оптимального проектирования заключается в том, чтобы зная или приняв начальные значения хj0, с помощью соответствующего алгоритма оптимизации (и разработанного вычислительного процесса) найти такие значения переменных, которые удовлетворяют заданным условиям — лимитерам, записанным в виде равенств и неравенств, и придают целевой функции экстремальное значение.
Отметим некоторые разновидности задач нелинейного программирования, имеющие место при оптимальном проектировании силовых трансформаторов.
Нелинейные функции ограничений в ряде случаев могут быть представлены как сумма функций только одной переменной, т. е. задача нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией и линейными ограничениями в виде равенств и неравенств:
(4.4)
(4.5)
Целевая функция (4.3) также может быть представлена в аналогичном виде, т. е.
(4.6)
Функции вида (4.5) и (4.6) носят название сепарабельных функций и позволяют построить многоэтапные процессы оптимального проектирования, которые открывают широкие возможности решения задач нелинейного программирования.
Возможны задачи нелинейного программирования, имеющие следующие особенности:
а) среди основных ограничений, которые имеют нелинейный характер, нет неравенств, т. е. имеем систему уравнений
б) отсутствуют условия неотрицательности варьируемых переменных и требования их дискретности;
в) функции Fi(X) и f(X) непрерывны и имеют частные производные, по крайней мере, второго порядка.
Особенностью задач подобного типа является то, что при решении системы уравнений с целью отыскания параметрических связей может быть использован математический аппарат классических методов, основанный на дифференциальном исчислении.
Ряд задач оптимального проектирования трансформаторов может при определенных допущениях быть приведен к вышеизложенному случаю и решается с привлечением математического аппарата классических методов.
