3. ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДАРСИ И ШЕЗИ
Для так называемой переходной зоны между гидравлически гладкими шероховатым трением, где на сопротивление одновременно влияют как вязкость жидкости, так и шероховатость стенок трубы, Прандтль расчетных формул не предложил. Из опытов Никурадзе на трубах с искусственной равномерно зернистой шероховатостью было установлено, что переходная область ограничена узкими пределами изменения скоростей течения, а коэффициент гидравлического трения в этой области представляет собой сложную функцию числа Рейнольдса и относительной шероховатости, оставаясь, однако, всегда меньше, чем в зоне вполне шероховатого трения (так называемая квадратичная область). Исходя из этого, считалось, что расчет трубопроводов в переходной зоне следует вести по формуле (11), так как в расчет вносится некоторый запас (см. рис. 1).
Однако в результате многочисленных опытов, проведенных как в лаборатории, так и в натуре на стальных, чугунных и других трубопроводах с естественной шероховатостью (опыты К. Колбрука; И.А. Исаева; Г.А. Мурина; Ф.А. Шевелева и др.), были обнаружены два существенно важных обстоятельства:
рабочей областью для технических трубопроводов является в большинстве случаев именно переходная область;
закономерности сопротивления технических трубопроводов в переходной области коренным образом отличаются от закономерностей, установленных Никурадзе в трубах с искусственной равномерно зернистой шероховатостью; значения коэффициента гидравлического трения в переходной зоне выше, чем в квадратичной области, и расчет по формуле (11) Прандтля приводит не к запасу, а к уменьшению расчетных потерь по сравнению с действительными.
Р. Мизес в 1914 г. на основании соображений о подобии установил зависимость
(14) и путем обработки имевшихся к тому времени опытных данных предложил для определения вида этой функции эмпирическую формулу.
Опыты К.Колбрука и К. Уайта (в 1938-1939 гг.) над искусственными шероховатостями различных типов, изучавшихся в различных комбинациях, привели к заключению, что характер зависимости λ=f (Re) в переходной области при одной и той же средней высоте выступов определяется видом шероховатости (формой зерен, распределением их по площади и др.) и, строго говоря, для каждой шероховатости имеется своя кривая λ = f (Re). Однако на основании обработки материалов опытов над трубопроводами с технической шероховатостью Колбрук показал, что кривые λ =f(Re) для большинства технических шероховатостей имеют аналогичный характер. Объединив формулы Прандтля—Никурадзе для гидравлически гладких и вполне шероховатых труб с помощью интерполяционной переходной функции, Колбрук получил зависимость
(15)
которая весьма удачно аппроксимирует характер кривых сопротивления для труб с естественной шероховатостью. В 1951 г. А.Д. Альтшуль, рассматривая в отличие от Прандтля турбулентный поток в трубе как единое целое (без деления на турбулентное ядро и ламинарный подслой), показал, что формула Колбрука (15) является непосредственным следствием применения полуэмпирической теории турбулентности к движению жидкости в напорных трубопроводах [1 ].
Формула (15) в противоположность формулам Прандтля (10) и (11) приводит к физически правильным выводам при исследовании ее на пределах. Действительно, формула (10) приводит к выводу, что λ → 0 при Re →∞, в то время как все опытные данные свидетельствуют о том, что общая тенденция функции λ=f(Re) заключается в стремлении ее к некоторому постоянному (для данной трубы) значению при достаточно больших числах Re.
Формула Прандтля (11) приводит к заключению, что λ → 0 при к → 0. Это также противоречит опыту, который показывает, что при малых значениях шероховатости коэффициент гидравлического трения λ практически перестает зависеть от шероховатости, но отнюдь не становится равным нулю. Формула (15) в полном соответствии с опытом дает конечное значение λ как при Re →∞ (трение определяется шероховатостью материала стенок трубы), так и при к→0 (трение определяется вязкостью жидкости). График, составленный по формуле (15), приведен на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость коэффициента гидравлического трения от числа Рейнольдса и относительной шероховатости по формуле Колбрука (15)
Формула Колбрука неудобна для практических расчетов, так как содержит неизвестный коэффициент гидравлического трения в левой и правой частях, при определении которого приходится прибегать или к методу последовательных приближений, или к построению расчетных графиков. В связи с этим возникает необходимость без ущерба для точности вычислений представить выражаемую этой формулой зависимость λ =f(Re; к/ d) в явном виде.
А.Д. Альтшулем предложена аппроксимация формулы (15) в виде [1]
(16)
Подсчеты показывают [3], что формула (16) практически совпадает с формулой Колбрука (15)*.
Вместе с тем формула (16) значительно удобнее формулы Колбрука, так как позволяет непосредственно (без последовательных приближений) находить значение коэффициента гидравлического трения.
В дальнейшем формула (16) получила подтверждение в исследованиях ряда авторов, рекомендующих лишь несколько отличные значения коэффициентов в ней (И.А. Исаев, Г .А. Адамов, X. Вальден, Н.З. Френкель, В.И. Черникин, Г.К. Филоненко, Л.И. Каган и др. [2]).
*При одинаковых значениях k3/d кривые по формуле (16) проходят несколько ниже кривых Колбрука, но несколько выше опытных кривых Мурина (наибольшее отклонение ±3,5%).
В ряде случаев (гидравлические расчеты водоводов при последовательном и параллельном соединении, составление номограмм некоторых видов, экономические расчеты систем трубопроводов и др.) использование логарифмических формул неудобно. Пользуясь тем, что в логарифмических формулах для коэффициента гидравлического трения последний сравнительно слабо изменяется с изменением кэ, d и Re, можно заменить логарифмическую формулу более удобными выражениями, в частности параболами высшего порядка, позволяющими с достаточной точностью определить λ в ограниченной области значений.
Для условий наиболее вероятных в практике расчета трубопроводов А.Д. Альтшулем предложена [1] двучленная степенная формула
(17)
Формула (17) удобна для расчетов, так как вычисления по ней сводятся к элементарным алгебраическим действиям. На пределах эта формула переходит в известные и хорошо отвечающие опытам зависимости для коэффициента гидравлического трения. Действительно, при условии
Для наиболее типичных условий (d/кэ=100:10 000) расхождение результатов подсчетов по формуле (20) и логарифмической формуле Никурадзе (12) составляет не более 2—3%.
После появления обобщенных формул для гидравлического расчета напорных водоводов была поставлена задача о создании рациональной зависимости для гидравлического расчета открытых каналов и безнапорных труб. Одна из попыток решения этой задачи, основанная на использовании полуэмпирической теории турбулентности применительно к безнапорному установившемуся равномерному турбулентному течению жидкости в канале большой ширины (b>Н) с уклоном дна i и глубиной Я, привела к выражению для коэффициента Шези в виде [1 ]
(21)
где А и В — постоянные; ϵ = 0,143k — линейный масштаб шероховатости.
Хотя логарифмические формулы по своей простоте не уступают показательным, могут быть случаи, когда они менее удобны. В качестве примера укажем на расчет кривых свободной поверхности по способу Бахметева, составление номограмм некоторых видов, выполнение экономических сравнений и пр.
Для инженерных расчетов во многих случаях логарифмическую зависимость (23) можно заменить простой степенной формулой [2]
Между значениями кэ и коэффициентом шероховатости п можно весьма просто установить связь, сравнивая уравнение (25) с формулой Маннинга (5) . Из сравнения получаем
кэ = (80n)6, (27)
(28)
Формула (28) может рассматриваться как обобщение формулы Маннинга. При пользовании этой формулой следует, однако, иметь в виду, что приводимые в справочниках значения п для наиболее гладких поверхностей (n<0,013) получены путем обработки по квадратичным формулам данных опытов, относящихся к неквадратичной зоне, и поэтому эти значения нельзя без коррективов подставлять в формулу (28).
Проведенный анализ показал, что полные формулы (24) и (28) следует применять вместо формул (25) и (5) при условии
(29)
т.е. для случаев движения воды в каналах с гладкими стенками, малыми гидравлическими радиусами и незначительными уклонами.
