1 Некоторые сведения из теории электромагнитного поля
- УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
В 1873 г. Дж. К. Максвелл впервые математически показал, что все электромагнитные процессы подчиняются определенным законам, выражаемым в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных по исследованию электрических и магнитных полей в различных средах. Уравнения Максвелла и в настоящее время являются основными уравнениями электромагнитного поля. Первые два уравнения обобщают два основных закона электротехники: закон полного тока (закон Ампера) и закон электромагнитной индукции (закон Фарадея).
Закон полного тока устанавливает количественное соотношение между напряженностью магнитного поля Н и электрическим током i:
(1.1)
Согласно этому закону линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равен полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Ток i включает все токи: проводимости, смещения, конвекции.
Выражение (1.1) называют первым уравнением Максвелла. Это уравнение количественно характеризует магнитное поле, возникающее при движении электрических зарядов и изменении электрического поля.
Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем, определяет электрическое поле, возникающее при изменении во времени магнитного поля. Максвеллом дано обобщение этого закона на случай любой среды. В соответствии с законом электромагнитной индукции электродвижущая сила, возникающая в контуре при изменении магнитного потока Ф, проходящего сквозь поверхность, ограниченную контуром, равна скорости изменения этого потока со знаком «минус». Максвелл доказал, что электродвижущая сила, действующая вдоль какого-нибудь контура, равна линейному интегралу вектора напряженности электрического поля Е, взятому вдоль этого контура. Отсюда обобщенная формулировка закона электромагнитной индукции может быть записана так:
(1.2)
Знак «минус» в правой части показывает, что возникающая в контуре ЭДС всегда стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего данный контур (правило Ленца). Уравнение (1.2) называют вторым уравнением Максвелла.
Выражения (1.1) и (1.2) представлены в интегральной форме. Для решения практических задач большое значение имеют уравнения Максвелла в дифференциальной форме, которые записываются так:
(1.3)
где j — объемная плотность тока проводимости (j=σЕ); σ — удельная проводимость среды, См/м; D — вектор электрического смещения, Кл/м2; В — вектор магнитной индукции, В-с/м2.
К уравнениям Максвелла обычно относят еще два следующих вспомогательных уравнения:
(1.4); (1.5) где р — объемная плотность зарядов, Кл/м3.
Выражение (1.4), называемое третьим уравнением Максвелла, является дифференциальной формой теоремы Гаусса, доказывающей, что, если в некотором объеме объемная плотность электричества не равна нулю, то через поверхность, ограничивающую этот объем, расходятся в окружающее пространство или сходятся в него линии электрического поля.
Формула (1.5), называемая четвертым уравнением Максвелла, выражает принцип непрерывности магнитных полей. Она показывает, что магнитные линии всегда непрерывны и образуют замкнутые петли; они нигде не начинаются и не заканчиваются. Для изотропной среды
В этом случае уравнения (1.7) и (1.8) принимают следующий вид:
δ — угол диэлектрических потерь.
Написанные выше уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. При решении практических задач часто приходится применять эти уравнения в прямоугольной и цилиндрической системах координат. В прямоугольной системе координат при гармонических колебаниях уравнения Максвелла имеют следующий вид:
Все эти уравнения имеют совершенно одинаковую форму. Поэтому для нахождения составляющих достаточно решить лишь одно уравнение в частных производных, например
(1.34)
Волновые уравнения могут быть записаны и в других системах координат. Однако они будут иметь более сложную форму и не дают столь простых уравнений относительно всех составляющих поля.
