КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Наиболее распространенными характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание (среднее значение) и среднеквадратичное отклонение
(1.28).
Для характеристики тесноты линейной связи между двумя случайными величинами X и Y используют коэффициент корреляции
который может принимать значения в диапазоне ±1. Чем ближе Y к 1 или -1, тем существеннее связаны между собой величины X и Y и появляется возможность выявить регрессионную зависимость Y=аХ, где а коэффициент пропорциональности.
Метод наименьших квадратов. Выбор наилучшею значения коэффициента а зависит от того, что мы условимся считать наилучшим. Можно выбрать коэффициент а так, чтобы среднее отклонение величин axi от vj было минимальным. Возможны и другие способы. На практике наиболее часто используют так называемый метод наименьших квадратов, в котором наилучшим считается коэффициент, обеспечивающий минимум суммы квадратов отклонений,
(1.29)
Единственным обоснованием такого понимания наилучшего коэффициента является то, что полученная при этом зависимость является наиболее вероятной (т. е. является математическим ожиданием зависимости) в случае, если величина У распределена по нормальному закону. Для обеспечения условия (1.29) необходимо производную по коэффициенту α приравнять нулю:
Тогда коэффициент а определим по формуле:
(1.30)
В практических расчетах, как правило, приходится определять коэффициенты зависимости случайной величины У (результирующего признака) не от одной, а от нескольких величин (факторов):
(1.31)
В этом случае для получения численных значений коэффициентов необходимо решить систему линейных уравнений в частных производных, порядок которой равен числу коэффициентов.
Факторный анализ. Иногда величины Х1, Х2, Хп известны из физических представлений об их взаимосвязи с величиной Y. Часто же эта связь только предполагается. Для выявления значимых факторов из числа намеченных применяют методы факторного анализа. Аппарат факторного анализа позволяет выполнить эту операцию, используя определенные критерии, учитывающие как коэффициенты корреляции между факторами, так и долевой вклад каждого из слагаемых (1.31) в величину У. Незначимые факторы отбрасываются, а коэффициенты при оставшихся факторах определяют с помощью описанного выше метода наименьших квадратов.
Случайные выборки. Одной из практически важных задач, решаемых с помощью аппарата теории вероятностей, является определение количества значений случайной величины, на основании которых можно получить ее характеристики с заданной точностью и достоверностью.
В расчетах потерь электроэнергии такая задача может решаться, например, при необходимости определения суммарных потерь в N линиях на основании непосредственного расчета потерь только в части из них. При этом общее число линий называют генеральной совокупностью, а рассчитываемую часть — выборкой. Задача формулируется следующим образом: определить минимальный объем выборки ω, достаточный для определения математического ожидания потерь с заданной точностью Δ, %, и достоверностью р. Потери электроэнергии во всех N линиях в этом случае определяют по формуле
Следует особо отметить, что отбор линий в выборку должен носить случайный характер. Не допускается отбирать характерные схемы, как это иногда рекомендуется. При таком отборе будет с заданной точностью обеспечен расчет суммарных потерь в характерных линиях, а не во всех. Именно поэтому данный метод называют методом случайных выборок. Обеспечить такой отбор можно, пронумеровав все линии генеральной совокупности и выбрав ω номеров из общего числа N номеров случайным образом. Если порядок расположения схем линий не определялся их предварительной классификацией по какому-либо параметру, то он может считаться случайным и в выборку может быть взята каждая пятая, десятая линия и т. д.
Планирование эксперимента. Применение методов планирования эксперимента наиболее эффективно в случае, когда математическое описание объекта (или явления) неизвестно либо имеет сложный и труднообозримый вид, а все параметры (факторы), от которых зависит значение функции, известны и при зафиксированных их значениях значение функции легко определяется из опыта. Эксперимент может быть как физическим, так и машинным. В последнем случае значение функции определяется расчетом на ЭВМ.
В качестве примера использования метода планирования эксперимента можно привести расчет зависимости потерь мощности в сети от нагрузок узлов. Эта зависимость, как известно, включает в себя большое количество параметров (все ветви сети и нагрузки узлов). В то же время для конкретных значений нагрузок потери мощности легко определяют расчетом. Однако, доя того чтобы получить зависимость
где Ii — токовые нагрузки узлов, необходимо варьировать значения нагрузок во всех узлах. Число сочетаний различных значений нагрузок может быть сколь угодно большим. Расчет величины ΔΡ необходимо произвести доя каждого сочетания.
Какое количество опытов необходимо произвести, на каких уровнях фиксировать значения переменных при варьировании и в какой последовательности производить опыты, чтобы достичь цели с минимальным их количеством, — ответы на эти вопросы дает теория планирования эксперимента. Простейшая реализация метода - для одной переменной — названа по имени математика, выведшего закономерность варьирования, методом Фибоначчи.
Метод Монте-Карло является универсальным вычислительным методом для определения характеристик функций случайных величин. Он используется в случае, если необходимо знать закон распределения или характеристики случайной величины, зависимость которой от величин с известными законами распределения имеет сложный математический вид, что исключает аналитическое определение искомых характеристик.
Практическое использование метода заключается в следующем. Производят большое количество расчетов (чем больше, тем точнее будут определены искомые характеристики), каждый из которых состоит в задании случайных значений параметров X1, Х2, .... Хп и расчете значения результирующего параметра Y, являющегося сложной функцией параметров X
Параметры X от опыта к опыту должны принимать такие значения, чтобы законы их распределения соответствовали фактическим. Основой получения таких значений являются известные алгоритмы, позволяющие получать случайные числа, распределение которых подчиняется закону равномерной плотности. С их помощью получают случайные числа, распределяемые по любому другому закону распределения.
Области применения методов. Как следует из изложенного выше, все описанные методы позволяют получить определенные сведения о параметре, зависящем от комплекса других параметров. Причем аналитический вид искомой зависимости либо неизвестен, либо настолько сложен, что использование ее в дальнейшем анализе затруднено. В этом случае приходится использовать способы упрощенного, более наглядного представления зависимости. Естественным желанием является выявить оптимальное упрощение, т. е. упрощение, вносящее как можно меньшую погрешность при как можно большей простоте и наглядности получаемой формулы.
При выборе метода решения задачи можно пользоваться следующими рекомендациями.
- Если известен ряд значений результирующего параметра и соответствующие им значения факторов, от которых зависит результирующий параметр, а из физических представлений об их зависимости можно предположить ее вид (линейная, квадратичная, полиномиальная и т. п.), то наилучшие значения коэффициентов этой зависимости выявляют методом наименьших квадратов.
- При использовании метода наименьших квадратов предполагается, что зависимость строится от всех намеченных факторов. На практике может встречаться задача, в которой ряды значений результирующего параметра и факторов известны, однако неизвестно, все ли факторы оказывают существенное влияние на значение результирующего параметра и все ли их стоит учитывать в упрощенной зависимости. Выбор значимых факторов осуществляет аппарат факторного анализа. Существенным аспектом является то, что этот аппарат анализирует значимость только линейной связи. После выбора значимых факторов (они. как правило, удовлетворяют условию независимости) значения коэффициентов линейной зависимости параметра от этих факторов определяют методом наименьших квадратов.
- Если ряды соответствующих друг другу значений неизвестны, то встает задача об их получении. Если значения каждого ряда взаимно независимы, то получение этих значений не вызывает трудностей — необходимо произвести столько расчетов, сколько нужно для получения искомой величины с заданной точностью и достоверностью [см. формулу (1.32) ].
Например, если ставится задача выявления зависимости потерь в линиях разомкнутых сетей от суммарной длины участков линий и установленной мощности трансформаторов в них, то ясно, что потери в конкретной линии не зависят от мощности трансформаторов в другой линии. Поэтому для каждой линии отдельно рассчитывают три величины: потери, суммарную длину участков и мощность трансформаторов, из физических представлений устанавливают вид зависимости и затем определяют численные значения входящих в нее коэффициентов методом наименьших квадратов. Если однозначных представлений о виде зависимости нет. то может быть намечено несколько формул. Коэффициенты в каждой из них определяют методом наименьших квадратов, вычисляют среднеквадратичные ошибки каждой формулы и выбирают формулу с наименьшим значением ошибки.
В ряде задач факторы оказываются существенно зависимыми друг от друга, что не позволяет осуществлять их раздельный анализ. Например, если необходимо выявить зависимость потерь в конкретной сети от нагрузок узлов, то ясно, что зависимость их от нагрузки любого конкретного узла будет различной при различных нагрузках в других узлах. Необходимым условием этой задачи является учет взаимного влияния факторов. В этом случае получение исходных рядов наталкивается на необходимость расчета бесконечного количества сочетаний различных значений факторов. Использование же ограниченного количества расчетов, проведенных при сочетаниях, установленных волевым порядком, не гарантирует того, что эти сочетания достаточно хорошо отражают всю возможную совокупность сочетаний. В такого рода задачах следует использовать метод планирования эксперимента, который как раз и определяет, какие сочетания значений факторов следует рассмотреть, чтобы выявить закономерности, характерные для всей совокупности сочетаний.
- И, наконец, если интерес представляют лишь характеристики результирующего фактора, рассматриваемого как случайная величина (например, закон распределения потерь, либо ее числовые характеристики - математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение) при случайном характере параметров, определяющих значение результирующего фактора, то используют метод Монте-Карло.
Определение погрешностей в результатах расчета по известным погрешностям в исходных данных.
Потери мощности и электроэнергии связаны с нагрузками и напряжениями квадратичной зависимостью. По результатам же натурных измерений определяют, как правило, характеристики случайной величины нагрузки. Для того чтобы определить характеристики случайных значений потерь электроэнергии, необходимо знать соотношения между погрешностями величин X.