Основы радиационной безопасности атомных электростанций - Защита от нейтронов

5.2. ЗАЩИТА ОТ НЕЙТРОНОВ

5.2.1. Решение уравнения переноса нейтронов.

В практике расчета защиты от нейтронов в большинстве случаев используют групповой подход к решению уравнения переноса (5.1.3). Суть его состоит в том, что с помощью теории возмущений переходят к модельной задаче, в которой функции энергетической зависимости сечений аппроксимируются кусочно-постоянными функциями энергии. Система групповых уравнений переноса в модельной задаче имеет вид

t-й энергетической группы в точке г в направлении 12; 2* — полное сечение взаимодействия нейтронов i-й группы;                                 (г, |xs) — дифференциальное сечение рассеяния нейтронов /-й группы на угол arccos " class="system-pagebreak" /> i8 с переходом в t-ю энергетическую группу; Методы группового анализа уравнения переноса и получения групповых констант основаны на использовании теории возмущений. Групповые константы получают усреднением сечений взаимодействия нейтронов с веществом защиты по энергетическим группам. При таком усреднении для внутригрупповых спектров обычно используют равновесные спектры в бесконечных однородных средах. Для представления дифференциальных сечений рассеяния нейтронов часто используют разложения по полиномам Лежандра:
(5.2.2)
Так, в общем случае выражение составляющей 2S (E'n-^Ent и) при упругом рассеянии нейтронов на ядрах с атомной массой А имеет вид
(5.2.3)
где— индикатриса упругого рассеяния нейтронов в лабораторной системе координат. Выражение составляющей этой функции» т.е. 2s(£n->£n. М* в случае неупругого рассеяния, а также соотношение для вычисления групповых констант имеют более сложный вид, но принципиально получаются так же.
Для решения уравнения переноса нейтронов в групповом представлении развиты различные методы.
Метод дискретных ординат и различных модификаций 5^-метода занимает доминирующее положение среди других методов и применяется для решения задачи о переносе нейтронов как в одномерной,
так и в многомерных (в основном двумерной) геометриях. Они наиболее развиты для плоской геометрии. Основная идея метода состоит в том, что дифференциальная угловая плотность потока нейтронов аппроксимируется функцией, определенной в узлах переменной по углам (в дискретных направлениях). Выбор узлов зависит от формулы численного интегрирования, используемой при вычислении интеграла рассеяния в уравнении переноса.
Интеграл рассеяния обычно представляют формулой, удобной для численного интегрирования, т. е. интегрирование заменяют суммированием, групповое уравнение упрощается и превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой угловая зависимость Ф (ху (а) выражается в виде интерполяционного полинома. Решают систему обычно конечно-разностным методом.
Решение уравнения переноса методом дискретных ординат реализовано в ряде известных одномерных (РОЗ, ANISN) и двумерных (РАДУГА, DDK, DOT) вычислительных программ на ЭВМ.

Метод полиномиальных разложений.

При решении уравнения переноса нейтронов этим методом все функции угловых переменных разлагаются по какой-либо системе ортогональных полиномов. Наиболее интенсивно развит и применяется на практике метод сферических гармоник, при котором используются разложения по полиномам Лежандра, ортогональным в интервале (— 1, + 1). В результате такого подхода интегро-дифференциальное уравнение переноса (5.1.3) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для различных угловых моментов плотности потока нейтронов. Дифференциальные уравнения записываются в различных /V-приближениях, преобразуются в конечно-разностные и решаются методом матричной факторизации или каким-либо итерационным методом.
Метод моментов — развитие метода сферических гармоник применительно к бесконечной однородной защите.
Двойной Pjv-метод (2Рд?-метод) — модификация метода сферических гармоник, приспособленная для решения уравнения переноса в гетерогенных защитах. По этому методу разложение угловой зависимости плотности потока нейтронов производится по полуинтервальным полиномам, ортогональным на полуинтервалах (— 1,0) и (0, + 1) и выражаемым через полиномы Лежандра.
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Применение описанных методов решения уравнения переноса в защитах сложной геометрии не всегда возможно. Для таких защит удобнее и надежнее метод Монте-Карло. Возможны два подхода к решению задачи о переносе нейтронов этим методом.
Первый состоит в моделировании поведения нейтрона в защите: прослеживается история жизни большого числа нейтронов и на основании результатов прослеживания делается заключение о поле нейтронов в защите Ф„ (£n, г, Q). Моделирование переноса нейтронов выполняется в несколько стадий: 1) определяется расстояние, которое прошел нейтрон в защите до первого взаимодействия; 2) разыгрывается тип ядра, на котором это взаимодействие произошло; 3) находится вид взаимодействия; 4) определяется угол рассеяния и вычисляется
энергия нейтрона после рассеяния; 5) снова отыскивается расстояние до места следующего взаимодействия и т. д.
Определение этих параметров проводят путем сравнения из вероятностей со значениями случайных чисел. Такой прямой подход к задаче трудоемок и длителен, поэтому обычно применяют различные модификации метода Монте-Карло, такие как методы расщепления, русской рулетки, минимизации дисперсии и др. Эти методы позволяют с приемлемой трудоемкостью решать задачи защиты при кратности ослабления плотности потока нейтронов 10³—105.
Второй подход состоит в рассмотрении интегрального уравнения переноса нейтронов, записанного в виде бесконечного ряда, члены которого являются интегралами возрастающей кратности. Члены ряда вычисляются методом Монте-Карло.

Точность расчета при столь малогрупповом приближении во многом зависит от правильности применяемых групповых констант, а последние — от корректного выбора спектра нейтронов в каждой энергетической группе. При подготовке констант для программ МГРЗ и «Нега» использована расчетная и экспериментальная информация об энергетических распределениях нейтронов в различных материалах защиты, а вычисленные по формулам (5.2.17) — (5.2.21) групповые константы откорректированы по данным так называемых базовых экспериментов. Результаты применения пятигруппового приближения метода выведение — диффузия к расчету типичной для реактора ВВЭР защиты показаны на рис. 5.6. Можно отметить вполне удовлетворительное для практических целей совпадение рассчитанных и измеренных данных. Это говорит о надежности метода выведение—диффузия даже при малогрупповом приближении.

Рис. 5.6. Сравнение результатов расчета пространственного распределения плотности потока тепловых (Л) и надтепловых (5) нейтронов в защите из железоводной смеси, стали и серпентинитового бетона (сплошная линия) с данными эксперимента (точки)
В последнее время метод выведение—диффузия использован в расчетных программах, решающих задачу о прохождении нейтронов в защите в двумерной геометрии. Считалось, что применение этого метода для двумерной геометрии сопряжено с большими затратами машинного времени. Этого удалось избежать в двумерной программе АТИКА, использующей все современные возможности вычислительной техники. Расчет пространственного распределения плотности потока нейтронов (12 энергетических групп выведения и 21 энергетическая группа нейтронов диффузии) в реальной композиции защиты выполняется за 20—30 мин на ЭВМ БЭСМ-6. Результаты применения программы АТИКА к типичной композиции защиты реактора ВВЭР иллюстрирует рис. 5.7.
5.2.3. Упрощенные методы расчета прохождения нейтронов через защиту. В практической работе, особенно на ранних стадиях проектирования защиты реакторной установки, часто используют упрощенные методы расчета прохождения нейтронов через защиту.
Это метод сечения выведения, длины релаксации и дозового фактора накопления нейтронов.
Первые два предназначены для определения пространственного распределения функции ослабления плотности потока быстрых нейтронов. В них используются эмпирические параметры и функция ослабления определяется по формулам
(5.2.22)
или                                 .
(5.2.23)
где ФЛ (0, Еп) — плотность потока нейтронов с энергией Еп на входе в защиту, т. е. при г — 0; 2ВЫВ — сечение выведения быстрых нейтронов; X — длина релаксации плотности потока быстрых нейтронов. Эта величина обычно задается константой на участке защиты толщиной 20—40 см, поэтому при расчете по формуле (5.2.23) Фп (г, Еп) получается в виде кусочно-непрерывной функции. Результаты рассчета по формуле (5.2.22) будут более точными, если в нее добавить сомножитель, учитывающий изменение наклона функции ослабления с толщиной защиты, связанное с рассеянием нейтронов на легких ядрах, особенно на водороде. Известны две модификации соотношения (5.2.22), учитывающие это обстоятельство:
I
)
Рис. 5.7. Результаты расчета пространственного распределения плотности потока нейтронов с Е«>1,5 МэБ (а) и тепловых нейтронов (б) <в типичной защите ях — показатель степени при 10
реактора ВВЭР. Данные представлены изопотоковыми лилиями, цифры на линии
где /н (г) и /н,° (г) — нормализованные на 1 при г = 0 функции ослабления плотности потока быстрых нейтронов в водороде и воде при их плотности, соответствующей плотности в защите. Сечение выведения в этих соотношениях определяется по формуле
(5.2.25)
где авыв. — микроскопическое сечение выведения г-го элемента; я* — ядерная плотность t'-го элемента в материале защиты; суммирование

выполняется по всем элементам, кроме водорода [для формулы (5.2.24)] или кроме водорода и кислорода воды [для формулы (5.2.24а)]. Очевидно, что
(5.2.26)
и, следовательно,
(5.2.26а)
если защита состоит из нескольких материалов, каждый с объемной долей Ci и длиной релаксаций плотности потока быстрых нейтронов Лбг Если иметь в виду качественную картину прохождения нейтронов через защиту (п. 5.1.2), то можно ввести понятие дозового фактора накопления нейтронов* В*03, определяемого соотношением
.(5.2.27)
где Еп — нижняя энергетическая граница группы быстрых нейтронов; р (Еп)—дозовый коэффициент. Если принять Е*п = 2 МэВ, то пространственное распределение полной мощности дозы нейтронов в защите можно рассчитать по формуле
, (5.2.28)
Значение В$°3 (г) можно определить экспериментально, а для однородных защит, не содержащих сильных поглотителей, рассчитать, пользуясь выводами теории возраста;

(5.2.29)
где т (и) —возраст нейтронов;определяется по формуле (1.3.35); и — 0 при Еп — 2 МэВ. Это соотношение справедливо в области установившегося равновесия, т. е. на достаточно больших расстояниях от источника в веществах, содержащих водород или другие легкие замедлители. Экспериментальная проверка показала, что формула справедлива для воды, полиэтилена, серпентинитового бетона и подобных материалов — результаты расчета совпадают с экспериментальными в пределах погрешностей измерений и расчетов. Установлено, что для таких веществ дозовый фактор накопления нейтронов различается не сильно и составляет 2 ± 0,3. Следовательно, с погрешностью ±15% полная мощность дозы за защитой из водородсодержащего материала равна:
(5.2.30)
где Рб.н — мощность дозы быстрых нейтронов.

*    В кн. «Защита от ионизирующих излучений» (авт.: Н. С. Гусев, В. П. Машкович, А. П. Суворов, М., Атомиздат, 1980) эта величина названа коэффициентом накопления подпороговых нейтронов. При этом Е* может принимать любое значение. Поскольку здесь Е* приписывается единственное значение (Е* = 2 МэВ), величина В^03 называется дозовым фактором накопления нейтронов. Хотя по названию эта величина похожа на величину Вд для γ-излучения (см. п. 5.3,2), но из сравнения формул (5.2.27) и (5.3.10) видно различие в их смыслах.

Р и с. 5.8. Зависимость дозового фактора накопления нейтронов от тол* щины материала, не содержащего водород ВГ возрастает с уменьшением концентрации водорода в материале защиты. В металловодородных защитах, т. е. защитах, собранных из металлов и водородсодержащих материалов, например, в зависимости от объемной концентрации металлаизменяется по закону
(5.2.31)
где В£°3 — дозовый фактор накопления нейтронов в водородсодержащем материале; а—коэффициент, характерный для пары металл —. водородсодержащий материал, например для железоводной защиты а = 1; для защиты из полиэтилена и свинца а — 0,53. В водородсодержащих  бетонахтакже растет с уменьшением концентрации водорода, т. е. воды, поскольку именно вода обычно является носителем водорода в бетоне:
(5.2.32)
где Сн.о — содержание воды в бетоне.
В материалах, в которых не устанавливается пространственного и энергетического равновесия между нейтронами различных энергетических групп, дозовый фактор накопления нейтронов растет с толщиной защиты и зависит от его значения на входе в защиту. Экспериментально установлено, что в металлах, а также в некоторых породах, не содержащих водород (гранит,  хромит и др.),изменяется по закону (рис. 5.8)
(5.2.33)
где — значение дозового фактора накопления нейтронов на входе взащиту; b — эмпирический параметр, зависящий от ядерно-физических свойств материала защиты. Для железа b — 0,102, для свинца B = 0,072, для гранита B — 6*10-6, для гематита B = 4  X 10^-8. Этот параметр определен для большинства используемых в защите материалов.         .
Рассматриваемая методика позволяет определить пространственное распределение мощности дозы нейтронов не только в однородных, но и в многослойных защитах. Для этого изучено изменение по толщине различных двухслойных защит, состоящих из слоя тяжелого и слоя легкого материалов (рис. 5.9). Было найдено что в первом слое изменяется в соответствии с соотношением (5*2.33), а во втором уменьшается, но вид функции зависит от , т. е. от толщины первого слоя, от ядерно-физических свойств материала второго слоя.

Рис. 5.9. Дозовые факторы накопления нейтронов в двухслойных защитах из стали и серпентинитового бетона (о) и из свинца и серпентинитового бетона (б)
При толщине второго слоя, равный 3—4 длинам замедления нейтронов» эффект накопления замедлившихся нейтронов в первом слое практически полностью компенсируется и принимает значение, характерное для материала второго слоя.
Формула (5.2.28) для многослойной защиты из  материалов М1( М3, ..., Мп, толщины слоев которых Tlt Т2, ..., Тп, записывается в виде

т. е. для определения пространственного распределения полной мощности дозы нейтронов в многослойной защите необходимо знать распределение мощности дозы быстрых нейтронов в каждом слое и «пространственное распределение» дозового фактора накопления нейтронов. Распределение />б.н (М1( М2,..., М„, Тъ Т2,..., Т„) легко получить с помощью методики сечения выведения или длины релаксации, а
распределение (Mlf М2, ..., М„, Tlt Т2, ..., Tft) — по результатам исследования двухслойных защит, например, с помощью номограммы, показанной на рис. 5.10. Пример применения методики для защиты» состоящей из пяти материалов, показан на рис. 5.11. Как воспользоваться номограммой для определения (Мх, М2, Тх, Т3)?

Рис. 5.10. Номограммы для определения дозового фактора накопления нейтронов л двухслойной защите из стали и серпентинитового бетона (а) и из стали и воды {6)
Рис. 5.11. Пример построения пространственного распределения полной мощности дозы нейтронов в многослойной защите по данным о пространственных распределениях мощности дозы быстрых нейтронов и дозового фактора накопления нейтронов:

1 — полная мощность дозы нейтронов: 2 — мощность дозы быстрых нейтронов; 3 — дозовый фактор накопления нейтронов

По оси г отложим Тх и Tt -4- T2t на оси найдем значение ); зависимость в пределах 0 < r < Т1 определяем по ближайшей восходящей кривой до r =  Т1 ближайшая нисходящая — зависимость во втором слое защиты.

Методика длины релаксации или сечения выведения и   дает вполне удовлетворительные результаты и часто используется в практической работе. Отметим, кстати, один очевидный из рис. 5.9 и 5.10 полезный факт: многослойную защиту от нейтронов следует заканчивать легким (лучше водородсодержащим) материалом, при прочих равных условиях мощность дозы нейтронов будет меньше.