Общие сведения
С помощью ОУ могут выполняться как линейные, так и нелинейные математические операции. Для этого существует много методов построения схем, суть которых часто заключается в использовании различных цепей обратной связи. Рассмотрим последовательно выполнение сначала простейших, наиболее часто используемых линейных операций, затем операций, описываемых дифференциальными уравнениями и некоторых нелинейных операций. Будем называть ОУ с цепями обратной связи решающим усилителем (РУ). Следует заметить, что вывод уравнения того или иного решающего усилителя при использовании неидеальных ОУ может значительно усложниться и потеряется его наглядность. В то же время, при правильном выборе ОУ можно пренебречь большинством его неидеальностей. Поэтому далее мы воспользуемся идеализированными параметрами усилителей.
Инвертор и суммирующий РУ
Наиболее простым РУ является инвертор, т.е. элемент, осуществляющий изменение знака сигнала (умножение на -1). Часто он осуществляет умножение и на другие постоянные коэффициенты и составляет основу инвертирующего сумматора. На рис. 1.2 приведена схема последнего. Цепи обратной связи образуются всеми резисторами. Однако для простоты резисторы R1, R2, ...Rn называются входными, а резистор R0 резистором обратной связи.
Входные и выходные напряжения измеряются относительно общей точки (земли), к которой подсоединяется и неинвертирующий вход усилителя. Напряжения источников питания на схеме обычно не показываются. В точке, подключенной к инвертирующему входу суммируются токи входных цепей и цепи обратной связи, поэтому она иногда называется точкой суммирования. Чем больше коэффициент усиления ОУ (DA), тем ближе потенциал в ней к нулю. Учитывая, что входной ток ОУ равен 0, на основании первого закона Кирхгофа можно написать
Отсюда 
Коэффициент передачи сумматора по каждому входу
изменяется подбором резисторов, либо дополнительным потенциометром на каждом из входов и рекомендуется в диапазоне 0.1-10. Резисторы чаще всего целесообразно использовать от 10 кОм до 100 кОм. Как видим схема позволяет не только суммировать сигналы, но и осуществлять их масштабирование. Число входов с целью уменьшения погрешности также стараются ограничивать до 10. При использовании одного входа РУ является простейшим инвертором.
Дифференциальный усилитель
Недостатком рассмотренной выше схемы является невозможность выполнения операции вычитания. Точнее будет сказать, что для этого потребуется дополнительный инвертор. Расширить функциональные возможности схемы можно, используя и неинвертирующий вход. Так выполняют дифференциальные усилители или РУ, осуществляющие операцию вычитания (рис. 1.3). При идеализированном подходе можно записать
Определим 
Рис. 1.3
После чего
Решающие усилители с реактивными элементами в цепях обратной связи
При проектировании различных систем противоаварийной автоматики часто необходимо использовать решающие усилители, выполняющие операции интегрирования, дифференцирования и более сложные, описываемые дифференциальными уравнениями. Для построения таких РУ кроме резисторов используют реактивные элементы (конденсаторы, индуктивности) в цепях обратной связи ОУ. Разработчики, как правило, стараются избегать применения индуктивностей, т.к. они значительно менее технологичны в изготовлении, параметры их в большей степени отличаются от идеальных, показатели габаритов и массы особенно на низких частотах уступают аналогичным устройствам, выполненным с использованием конденсаторов, и номенклатура этих изделий на много меньше, чем резисторов и конденсаторов. Поэтому далее рассматриваются схемы на основе резисторов и конденсаторов. Основной характеристикой таких схем является передаточная функция - отношение изображений по Лапласу выходного и входного напряжений при нулевых начальных условиях. Как видно, это удобная форма записи дифференциального уравнения элемента. В зависимости от порядка передаточной функции, ее чувствительности к отклонению параметров она реализуется либо на интеграторах и масштабирующих усилителях, либо включением в цепях обратной связи многополюсников.
На рис. 1.4 последовательно показаны схемы интегратора, дифференциатора и усилителя с четырехполюсником в цепях обратной связи. Передаточные функции Н(р) этих элементов легко получаются, как и ранее, с использованием первого закона Кирхгофа для точки суммирования и идеализированных параметров ОУ.
Для первой схемы:
Переходя к оригиналам, имеем:
Рис. 1.4
Во временной области:
Полученные ранее уравнения РУ являются частным случаем этого уравнения.
Фильтры симметричных составляющих
Для повышения селективности и чувствительности устройств и систем защиты при различных видах повреждений достаточно широко используют фильтры симметричных составляющих (ФСС). С помощью этих фильтров можно определять и вид возникших повреждений элементов энергосистемы. В основе фильтрации симметричных составляющих лежат известные соотношения, которые в общем виде представляются следующим образом: 
Используя эти уравнения, можно составить множество других выражений в алгебраической, тригонометрической и показательной формах представления комплексных чисел. При цифровой реализации может оказаться удобной форма записи во временной области. То или иное представление симметричных составляющих может быть положено в основу синтеза ФСС. При этом разработчики стараются использовать другие фазовые операторы, руководствуясь следующим.
Фазовые операторы рекомендуется реализовывать оптимальным образом с помощью звеньев с постоянным временем замедления [2]. Причем это время стараются уменьшить для улучшения временных характеристик ФСС. В некоторых случаях, когда не требуется очень высокие временные показатели, допустимо использование для их реализации простейших фазосдвигающих устройств.
Для получения других фазовых операторов и при цифровой реализации удобно использовать следующие выражения:
где ∆t - время замедления или временной интервал, через который необходимо осуществлять измерения токов (напряжений) в фазах, чтобы рассчитывать симметричные составляющие при цифровой реализации, ω - угловая частота; а - угол сдвига.
Представляют интерес и другие формы записи симметричных составляющих:
Последнее обстоятельство обусловлено тем, что использование разности фазных величин почти устраняет влияние третьих и кратных им гармоник, имеющих наибольшее процентное содержание в исходных сигналах, а для реализации требуется лишь одно фазосдвигающее устройство.
На рис. 1.5 приведена структурная схема фильтра на основе звена с постоянным временем замедления. Вместо последнего можно использовать фазосдвигающее звено с передаточной функцией
у которого угол поворота φ=—2arctga>T. Схема звена приведена на рис. 1.6. Для него T=RC.
Компараторы
Устройства противоаварийной автоматики включают в себя большую группу измерительно-логических преобразователей, с помощью которых осуществляется преобразование входной количественной информации в какую-либо команду или наоборот, т.е. решаются уравнения 
, где входные величины или выходная изменяются дискретно. Из этой группы рассмотрим преобразователи, осуществляющие сравнение величин, известные также как компараторы. Выходное напряжение компаратора может принимать два определенных значения, соответствующих логическому 0 и логической 1. Эти напряжения сменяются всякий раз, когда изменяет свой знак сумма входных напряжений. Сюда относятся и нуль-индикаторы, определяющие прохождение величины через нуль (сравнение с нулем).
Аналоговые компараторы могут быть построены на основе ОУ без обратной связи. Можно использовать как один инвертирующий или неинвертирующий вход ОУ, так и оба. На рис. 1.7,а изображена схема компаратора с ограничителем выходного напряжения на основе стабилитрона VD, в котором используется только инвертирующий вход усилителя, а на рис. 1.7,6 - его статическая характеристика (U1СТ и U1СТ - напряжения стабилизации стабилитрона VD). Компаратор сравнивает опорный ЕОП и исследуемый сигналы.
В момент точного достижения входным сигналом пороговых значений усилитель находится в неустойчивом линейном режиме. Переключение состояния выхода происходит с некоторой задержкой, обусловленной временем перезарядки паразитных емкостей.
Регенеративный компаратор (рис. 1.8,а) является схемой с положительной обратной связью. Его статическая характеристика (рис. 1.8,б) показана при ЕОП=0. В общем случае порог срабатывания определяется ЕОП, амплитудными значениями выходного сигнала относительно общей точки
и коэффициентом обратной связи
Рис. 1.8
Введение гистерезиса в компаратор целесообразно в том случае, если сигнал приходит на фоне помех: после переключения состояния компаратора относительно большим напряжением сигнала напряжение UГ является запасом помехоустойчивости, так как возврат происходит тогда, когда сигнал уменьшится на заданную величину UГ.
Компараторы на ОУ без отрицательной обратной связи в ряде случаев (особенно при построении аналого-цифровых преобразователей) не позволяют получить приемлемое быстродействие, которое оценивается временем задержки включения tЗД. Задержка включения объясняется тем, что после режима перегрузки, нормального для компаратора, не обеспечивается быстрый выход транзисторных каскадов из насыщения. Это явилось первопричиной разработки специализированных интегральных компараторов, характеризующихся временем задержки ≤ 300 нс.
Схемотехнически они подобны ОУ и описываются рядом аналогичных параметров (коэффициент усиления, входной ток, диапазон допустимых входных напряжений, коэффициент ослабления синфазного сигнала, напряжение смещения, ток потребления и др.). Основными параметрами являются: чувствительность (точность с которой компаратор может различать входной и опорный сигналы), быстродействие, определяемое tЗД и временем нарастания сигнала, нагрузочная способность (IВЫХ ).
Компараторы К554САЗ и КМ597САЗ являются прецизионными (К= 150000). Время tЗД у первого 200 нс, а у второго 300 нс. Они характеризуются сравнительно малым током потребления и входным током (соответственно IВХ составляет 0.1 и 0.25 мкА, а IП - 6 и 2.6 мА). К554САЗ универсальный. Он может работать от различных источников питания, включая однополярные +5 или -30 В. Нагрузочная способность его очень высока, IВЫХ=200 мА. Выходное напряжение, соответствующее логической 1, составляет 2.4 ... 4 В, а логическому 0 - 1.0 ...0 В.
Формирователи модуля
При построении измерительной части устройств противоаварийной автоматики часто применяют схемы формирования абсолютных значений величин, так называемые формирователи модуля (ФМ). Они используются в реле тока, напряжения и сопротивления. В идеальном случае входной _
и выходной
сигналы ФМ связаны зависимостью
где к - масштабный коэффициент.
Статическая характеристика идеального ФМ приведена на рис. 1.9. Однако получение такой характеристики связано с определенными трудностями, обусловленными нелинейностью, нестабильностью и разбросом прямых и обратных сопротивлений полупроводниковых ключевых элементов.
Существует относительно большое число ФМ, построенных с помощью операционных усилителей. Совместное использование ОУ с диодными ключами позволило значительно увеличить точность ФМ, что особенно ценно при низких уровнях используемых сигналов.
На рис. 1.10 приведена схема двухполупериодного формирователя модуля, в котором увеличение точности достигнуто включением диода VD1 в цепь отрицательной обратной связи ОУ. Ранее было показано, что выходное сопротивление схемы ОУ, охваченного цепью обратной связи, уменьшается в ку β раз. Следовательно, в это число раз уменьшается влияние прямого сопротивления диода. Уменьшение влияния напряжения начального смещения диода Uq на погрешность можно оценить с помощью следующих уравнений усилителя ОУ при низкочастотном сигнале:
Двухполупериодное выпрямление в этой схеме обеспечивается за счет выбора входных сопротивлений ОУ DA2 как показано на рис. 1.10. Изменение полярности выходного сигнала достигается подключением первого входа DA2 к точке а.
Достоинством схем является возможность сравнительно простого усреднения выходного сигнала, которое, если не предъявлять высоких требований к частотной характеристике фильтра, может быть осуществлено включением конденсатора С параллельно резистору выходного сумматора, что показано пунктиром на рис. 1.10. Сумматор в этом случае одновременно выполняет роль простейшего фильтра первого порядка. Емкость конденсатора С может быть выбрана с учетом наибольшего ослабления переменной составляющей (в основном частоты 100 Гц). Для этого можно использовать допустимое значение коэффициента ослабления η-ой гармоники по сравнению с постоянной составляющей
