Глава II. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
Нестационарные процессы в теплообменных аппаратах описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, аналитическое решение которых получить трудно. В некоторых частных случаях удается получить аналитическое решение исходных уравнений теплообмена, и тогда оно позволяет найти динамические характеристики теплообменных аппаратов, которые однозначно определяют распределение в них температур как функций пространственных координат и времени.
Однако эти решения часто выражаются через функции Бесселя и Хенкеля, и поэтому получаемый результат трудно использовать при расчете системы автоматического управления. Отсюда возникает задача приближенного определения динамических характеристик теплообменных аппаратов, передаточные функции которых выражались бы дробно-рациональными функциями. В этом случае появляется возможность использовать методы анализа и синтеза систем, разработанные в теории автоматического регулирования.
В настоящей главе приводятся основы возможных методов определения приближенных динамических характеристик теплообменных аппаратов. Причем под динамическими характеристиками мы будем понимать любые характеристики или уравнения, которые однозначно определяют изменение во времени выходных параметров, характеризующих режим работы аппарата при стандартных возмущениях на входе.
Задачу о приближенных методах решения исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных применительно к процессам теплообмена можно подразделить на две:
- задачу о возможных способах аппроксимации известных решений с достаточной для практики точностью;
- задачу выбора критерия применимости аппроксимации.
Если известны коэффициенты исходных уравнений или законы их изменения, то с помощью того или иного способа аппроксимации в принципе возможно получить функцию, которая обеспечит совпадение с исходной с заданной степенью точности. В этом случае можно говорить о решении первой задачи приближения.
Если примененная аппроксимация достаточно полно отражает процессы, описываемые исходной системой дифференциальных уравнений для рассматриваемого теплообменного аппарата независимо от изменения параметров и режима его работы, то, очевидно, можно применить данный способ аппроксимации для описания процессов теплообмена. В этом случае можно говорить о решении второй задачи.
Ниже рассматриваются вопросы, относящиеся главным образом к первой задаче, т. е. к задаче о возможных и, в известном смысле, общих методах отыскания приближенных динамических характеристик теплообменных аппаратов.
Поставленную выше задачу определения динамических характеристик теплообменных аппаратов можно решить, используя и методы численного расчета. Эти методы позволяют определить переходные функции по исходным нелинейным дифференциальным уравнениям, точно описывающим исходные процессы. Однако это будут частные решения, во многих случаях не позволяющие сделать необходимые обобщения (исключая тот случай, когда таких частных решений много). Тем не менее методы численного расчета весьма эффективны и часто являются единственным средством определения достоверных динамических характеристик теплообменных аппаратов. Кроме того, достоверные динамические характеристики всегда возможно аппроксимировать приближенными, более удобными для решения ряда вопросов автоматического регулирования. Методы численных решений достаточно хорошо известны, поэтому здесь освещаются лишь особенности, связанные с решением уравнений динамики теплообмена.
2.1.4. Краткое сравнение рассмотренных методов аппроксимации
Кратко сравним рассмотренные выше методы аппроксимации с точки зрения общих принципов применения их при решении инженерных задач.
Метод разложения функций в ряды в окрестности какой-либо точки по ортогональным или другим функциям является наиболее простым методом определения приближенных передаточных функций аппаратов, объектов или систем регулирования. Положительная сторона этого метода заключается в его математической простоте и в том, что он позволяет использовать непрерывные вычислительные машины, в которых набор функций осуществляется в виде ряда цепочек усилителей, интеграторов и сумматоров, включаемых параллельно и последовательно.
Кроме того, метод разложения в ряды, может быть, использован для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных любого порядка и более общего типа, например, таких, которые встречаются при определении динамических характеристик многослойных, многофазных и многоконтурных аппаратов.
Основным недостатком методов аппроксимации с помощью разложения функций в ряды является то, что затруднительно точно указать число членов ряда, которые могут обеспечить необходимую динамическую и статическую точность приближения. Кроме того, эти методы вызывают известные трудности при реализации. Действительно, определение приближенных передаточных функций в этом случае связано с вычислением суммы выражений, каждое из которых представляет собой передаточную функцию, возрастающую по степеням п. Поэтому с увеличением числа членов ряда, сложность возрастает в пп раз.
Метод интегральных оценок как метод приближенного расчета обыкновенных передаточных функций оказывается весьма эффективным, когда известны или вычислены точные трансцендентные передаточные функции. Его основные преимущества — простота вычислительной схемы, сравнительно малое количество необходимых операций в процессе расчета, абсолютная точность значений передаточных функций при р→0 и р→∞, простота расчета динамических характеристик аппаратов как при помощи аналоговых машин непрерывного действия, так и на ЦВМ.
Из возможных разновидностей аппроксимации функций методом интегральных оценок наиболее простая достигается передаточной функцией первого порядка, которая имеет простую схему и является вполне достаточной при инженерных расчетах многих процессов теплообмена. Из соображения повышения динамической точности наибольшего внимания заслуживает аппроксимация передаточными функциями второго и в редких случаях — третьего порядка. Для систем, обладающих большой инерционностью, а также для нелинейных систем могут быть получены приближения посредством введения в решение функций переходного запаздывания.
Благодаря тому, что этим методом аппроксимируется вся трансцендентная передаточная функция, он может применяться при решении многих задач теплообмена, включающих процессы конвекции, теплопроводности и излучения.
Существенным недостатком метода интегральных оценок является невозможность предсказания аппроксимирующей функции, дающей наилучшее приближение в области 0<р<∞. Поэтому приходится исходить из минимального числа простых передаточных функций, что иногда может оказаться недостаточным. Наконец, этот метод дает неравномерную погрешность в переходном режиме вследствие того, что аппроксимация производится не по ординатам, а по площадям.
Вариационный метод позволяет учесть влияние характеристик по координате на передаточную функцию с помощью коэффициентов, являющихся функциями координат, если аппроксимирующая функция каким-либо образом определена. Однако при применении вариационного метода к системам уравнений можно не задаваться аппроксимирующей функцией, а получить ее из решения системы уравнений (условий оптимума) в виде экстремали.
Этот метод обладает и тем преимуществом, что он включает возможность аппроксимации системы любого порядка с учетом влияния распределенности параметров по х в аппроксимирующих функциях. Основные недостатки его — сложность применения в инженерной практике и необходимость проводить достаточно трудоемкие вычисления.
