Уравнение состояния провода необходимо для получения ответа на два вопроса:
- при каких условиях в проводе возникают наибольшие напряжения;
- каково значение напряжения в любом заданном режиме, если известно, что в наиболее тяжелом режиме напряжение в проводе должно быть равно максимально допускаемому значению.
Второй вопрос показывает, что провод в пролёте должен быть смонтирован так, чтобы ни в одном из режимов его работы напряжение в нем не превзошло допускаемого значения, а в наиболее тяжелом режиме оно должно быть равно допускаемому напряжению (параграф 2.4.1). Только при выполнении этого требования будут полностью использованы прочностные характеристики провода [3, 11].
Для проводов воздушных линий электропередачи в качестве расчетных принимают три вида режимов:
Режим 1 - режим минимальных (наинизших) температур Θ_. Ветер и гололед отсутствуют, то есть γ = γ1.
Режим 2 - режим наибольших нагрузок γнб. В качестве режима наибольших нагрузок может рассматриваться режим наибольшего скоростного напора для провода с гололёдом γ нб = γ 6, либо режим гололеда γнб = γ 7. Температура в любом случае равна температуре гололедообразования Θг.
Режим 3 - среднеэксплуатационный режим (режим среднегодовых температур. Ветер и гололед отсутствуют, то есть γ = γ1.
Вопрос о том, который из трех режимов должен быть принят в качестве исходного состояния при заданном допускаемом напряжении, решается в зависимости от ряда факторов:
- длины пролёта;
- температуры;
- нагрузки на провод;
- величины допускаемого напряжения.
При этом установлено, что при любых заданных исходных условиях влияние температуры и нагрузки нового состояния на величину напряжения в проводе будет в большей или меньшей степени сказываться в зависимости от длины пролёта.
Для того чтобы понять, в каком случае больше будет сказываться влияние температуры, а в каком - влияние нагрузки, необходимо в уравнении состояния провода (2.40) принять в качестве независимой переменной величину пролёта, а в качестве зависимой - величину напряжения и рассмотреть пределы изменения напряжения при изменении длины пролёта.
Как независимая переменная, пролёт может изменяться до очень малой величины, то есть можно записать, что l ^ 0 или до очень большой величины - l. Такая процедура делается условно, с целью выяснения характера и пределов изменения напряжения.
Рассмотрим, как изменится уравнение состояния провода при условии l ^ 0. Когда длина пролёта, уменьшаясь, стремится к нулю, то стремятся к нулю те члены уравнения (2.40), которые имеют множитель l2 и их влияние на величину напряжения будет практически неощутимо. В этом случае уравнение состояния примет вид: σ = σ0 -αΕ (Θ-Θ0). (2.41)
Из уравнения (2.41) следует, что чем меньше длина пролёта, тем меньше сказывается величина нагрузки, и напряжение будет зависеть от температуры рассчитываемого режима. В зависимости от величины температуры искомое напряжение σ может получиться больше или меньше исходного напряжения σ0.
Для того чтобы проследить влияние увеличения пролёта, необходимо разделить все члены уравнения состояния провода на l2. Тогда получим:
(2.42)
По мере увеличения длины пролёта, все члены, имеющие в знаменателе l2, будут уменьшаться, а при стремлении к бесконечности, обратятся в нули. При этом получится равенство:
(2.43)
из которого, сократив одинаковые множители, получим:
(2.44)
Приблизительно такой же результат будет и при конечной, но достаточно большой длине пролёта. В зависимости от величины нагрузки искомое напряжение σ может, как и в случае влияния температуры, получиться больше или меньше исходного напряжения σο.
На основании рассмотренных случаев можно сделать следующие выводы:
- при малых пролётах на величину искомого напряжения оказывает влияние температура, а при больших - нагрузка;
- существует такая пограничная длина пролёта, при которой влияние температуры и нагрузки на величину напряжения будет одинаковым, то есть существует некоторый критический пролёт, в котором значения напряжений при наинизшей температуре и наибольшей нагрузке равны между собой σ- = σнб.
Такой пролёт называют вторым критическим пролётом, его длина равна l2k.
Второй вывод позволяет изобразить график зависимости напряжения от длины пролёта (рис. 2.15).
В практических расчетах помимо второго критического пролёта требуется вычислить пролёты для сочетания режимов 1 и 3, что даст первый критический пролёт l1k, и для режимов 2 и 3, что даст третий критический пролёт l3k (рис. 2.16).
Рис. 2.15. График изменения напряжений в зависимости от длины пролёта
Рис. 2.16. График изменения напряжений при условии, что l1k < l3k
По рис. 2.16 видно, что при уменьшении длины пролёта от l2k до нуля, напряжение в среднеэксплуатационном режиме σ достигает допускаемого напряжения σ д, тогда как в режиме наибольших нагрузок оно
этого уровня еще не достигло. Аналогично при увеличении длины пролёта от l2k до бесконечности среднеэксплуатационное напряжение достигает допускаемого уровня, тогда как напряжение при наименьшей температуре σ- этого уровня еще не достигло.
Таким образом, для дальнейших расчетов принимаются первый и третий критический пролёты, а второй критический пролёт является фиктивным.
В этой ситуации необходимо рассуждать следующим образом:
- если заданный пролёт l меньше, чем первый критический пролёт l1k, то есть соблюдается неравенство l < l1k, то расчетным является режим 1;
- если заданный пролёт l больше, чем первый критический пролёт l1k, но меньше, чем третий, то есть l1k < l < l3k, то расчетным является режим 3;
- если заданный пролёт l больше, чем третий критический пролёт l3k, то есть l > 13k, то расчетным является режим 2.
Помимо трех основных соотношений между заданным пролётом и критическими пролётами, существуют дополнительные соотношения, которые тоже могут получиться в результате расчетов:
1) lik > lзк (рис· 2·17)·
Рис. 2.17. График изменения напряжений при условии, что l1k > l3k
Такое соотношение является признаком отсутствия среднеэксплуатационного режима как расчетного. В этой ситуации первый и третий критические пролёты считают фиктивными, а «работающим» является второй критический пролёт и заданный пролёт сравнивают с l2k. Если l < l2k, то расчетным является режим 1, если l > l2k,- то режим 2;
- существует только первый критический пролёт l1к, а l3к является мнимым или имеет слишком большое значение, тогда расчетными являются режимы 1 и 3;
- существует только третий критический пролёт l3к, а l1k является мнимым или имеет слишком малое значение, тогда расчетными являются режимы 2 и 3.
Расчетные выражения, справедливые для любых проводов, получают, подставляя в уравнение (2.40) соответствующие режимам пары допускаемых напряжений и решая это уравнение относительно длины пролёта.
Тогда для первого критического пролёта:
(2.45)
(2.46)
(2.47)
Пример 2.4
Пользуясь результатами примеров 2.1 и 2.2, для строящейся воздушной линии 220 кВ на местности, характеризуемой следующими значениями температуры воздуха за длительный период наблюдения на метеорологической станции:
- среднегодовая Θсг= - 2°С;
- гололедообразования Θг= - 5°С;
- абсолютная наинизшая Θ-= - 55 °С,
найти значение температурного коэффициента линейного расширения провода, модуля упругости, допускаемые значения эквивалентного механического напряжения для трех характерных эксплуатационных состояний провода, соответствующих заданным температурам. Решить уравнения состояния провода для пролётов различной длины и построить графические зависимости изменения механического напряжения в
проводе. Вычислить значения критических длин пролётов и выбрать определяющие климатические условия для расчета провода на прочность.
Исходные данные и пояснения
Технические данные провода АС-240/32 нормальной конструкции и его удельные механические нагрузки приведены в примере 2.1.
Значения температурного коэффициента линейного расширения провода, модуля упругости, а также допускаемые значения эквивалентного механического напряжения зависят от отношения площадей поперечных сечений алюминия и стали m = 5,52 (пример 2.2).
Решение
Для провода АС-240/32 нормальной конструкции с отношением площадей поперечных сечений алюминия и стали m = 5,52 в [13, стр. 326, 327, табл. 2.5.8] находим: α = 19,2 · 10-6 1/°С ; Е = 8,25 · 103 даН/мм2.
Принимаем, что провод изготовлен из обычной твердотянутой электротехнической алюминиевой проволоки марки АТ, тогда в [13, стр. 324, 325, табл. 2.5.7] находим значения допускаемого напряжения:
σΠ6 = 13 даН/мм в состоянии провода, когда действует наибольшая механическая нагрузка;
σ- = 13 даН/мм в состоянии провода, когда действует наинизшая
температура воздуха;
σэ = 8,7 даН/мм2 в состоянии провода, когда действует среднегодовая температура воздуха (среднеэксплуатационные условия работы провода).
Каждое из этих значений не может быть превышено в процессе работы воздушной линии.
Рассчитаем изменение значений среднеэксплуатационных напряжений σэ в проводе, которые будут возникать в пролётах различной длины, если требуется обеспечить сохранение допускаемых напряжений при условии возникновения наибольшей механической нагрузки или при установившейся наинизшей температуре окружающей среды.
Для этого составим и решим уравнения состояния провода в двух вариантах. Искомое среднеэксплуатационное напряжение для варианта 1 обозначим индексом (1), для варианта 2-индексом (2).
Вариант 1: исходные условия - возникновение наибольшей механической нагрузки γнб; искомые условия - среднеэксплуатационные, тогда уравнение состояния примет вид:
Полученное уравнение можно представить как неполное кубическое:
Неполные кубические уравнения можно решать любым из итерационных методов. Воспользуемся итерационным методом Ньютона, при этом напряжение на каждой последующей итерации запишется как:
Исследуем, как изменится напряжение в проводе в зависимости от изменения длины пролёта при возникновении наибольшей механической нагрузки.
Как независимая переменная, пролёт изменяется до очень малой величины, то есть можно записать, что l стремится к 0 или до очень большой величины - l(параграф 2.6.3), поэтому на нулевой итерации удобно
вычислить значение напряжения при l = 0 : 
то есть среднеэксплуатационное напряжение при условиях возникновения наибольшей нагрузки будет изменяться от начального значения
Вычислим значения коэффициентов А и В, а также значения механических напряжений при длинах пролётов от 100 до 800 м, сопровождая расчет занесением результатов в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Результаты расчетов напряжений в проводе при условии возникновения наибольшей механической нагрузки, даН/мм
Вариант 2: исходные условия - при установившейся наинизшей температуре окружающей среды Θ-; искомые условия - среднеэксплуатационные, тогда уравнение состояния примет вид: 
Исследуем, как изменится напряжение в проводе в зависимости от изменения длины пролёта при установившейся наинизшей температуре окружающей среды:
то есть среднеэксплуатационное напряжение при условиях установившейся наинизшей температуры окружающей среды будет изменяться в
пределах от начального значения 4,6 до конечного значения 13 даН/мм2.
Получим зависимости коэффициентов А и В от длины пролёта If.
Вычислим значения коэффициентов А и В, а также значений механических напряжений при длинах пролётов от 100 до 300 м, сопровождая расчет занесением результатов в табл. 2.3.
На рис. 2.18 представлены графические зависимости изменения напряжения = f(li) (табл. 2.2, столбец 7), (табл. 2.3, столбец 7) при заданном исходном значении 13 даН/мм2. Значение допускаемого напряжения при среднеэксплуатационных условиях работы провода σэ = 8,7 даН/мм2 никак не связано с длиной пролёта, поэтому на рис. 2.18 представлено прямой горизонтальной линией, соответствующей этому значению.
Графические зависимости 1f (li) и 2f (li) пересекаются
при li =130 м. Прямая σэ = 8,7 даН/мм не пересекает ни одну из зависимостей.
Таблица 2.3
Результаты расчетов напряжений в проводе при условии
Рис. 2.18. Изменение напряжения в проводе при среднеэксплуатационных условиях в зависимости от длины пролёта: 1 - значения напряжения рассчитаны при исходных климатических условиях наибольшей механической нагрузки; 2 - то же, но исходные условия соответствуют установившейся наинизшей температуре окружающей среды установившейся наинизшей температуры окружающей среды, даН/мм
Для вычисления первого критического пролёта необходимо сравнить. Если имеет мнимое значение, так как в этом случае зависимость (кривая 2, рис. 2.18) не пересеклась бы с прямой и вычислять l1k нет необходимости. В данном примере получено 4,6 = 8,7 даН/мм, поэтому вычисляем j1k по формуле (2.45):
Для выбора определяющих климатических условий по расчету провода на прочность необходимо значения реальных или вероятных длин пролётов сопоставить с критическими длинами (параграф 2.6.3).
В примере 2.2 вероятная длина пролёта принята l = 470 м, ее и следует сопоставить с критическими длинами пролётов.
В результате расчетов примера 2.4 было получено соотношение l1k = 365 > l= 94 м, значит среднеэксплуатационный режим, как расчетный отсутствует, и «работающим» является второй критический пролет. Сравним вероятную длину с 12k .
Вывод по примеру: сравнение длин пролётов показывает (примечание 2.4), что l = 470 > 12k = 130,7 м, значит расчетным является режим наибольших нагрузок γнб (кривая 1, рис. 2.18).
