Оптимизация параметров дефектоскопической аппаратуры должна основываться на анализе последствий влияния па нее факторов, не связанных с наличием дефектов в контролируемом объекте. Эти факторы многочисленны и воздействуют на все элементы дефектоскопического тракта, включая объект контроля (температура, шероховатость поверхности объекта, люфт сканирующего устройства, тепловые шумы в электрических цепях и т. л.) Решение о браковке выносится на основе анализа параметров сигналов, принимаемых дефектоскопической аппаратурой. Для решения задачи обнаружения дефектов прежде всего следует определить признаки сигнала, несущие информацию о наличии дефекта. Такие признаки называются информативными. Величины, характеризующие информативные признаки, называют информативными параметрами. К ним относятся амплитуда, частота, фаза, время появления и другие величины. Ценность информативных параметров для решения задач контроля определяется степенью их различия для бездефектного (эталонного) и дефектного изделия. Заключение о качестве контролируемого объекта тем достовернее, чем больше разность значений информативных параметров сигналов от эталонного и дефектного изделий.
Из-за статистического разброса физических характеристик объектов контроля, а также из-за собственных шумов аппаратуры и случайных воздействий на аппаратуру в производственных условиях, в которых осуществляется контроль, возможны случайные изменения параметров сигнала, не связанные с наличием дефектов. Поэтому задача обнаружения дефектов, т. е. определения значимости различия параметров сигнала, зарегистрированного в процессе контроля, и параметров сигнала от эталонного образца, носит вероятностный характер. Статистическая теория принятия решений позволяет выбрать оптимальную стратегию при интерпретации результатов неразрушающих испытаний (24).
Предположим, что аппаратура контроля регистрирует несколько информативных параметров сигнала Х.
Обозначим X совокупность возможных значений компонент вектора х. На множестве X можно определить функции, описывающие вероятности (или плотности вероятностей) распределения величин х соответственно для бездефектных и дефектных изделий контролируемой партии. Эти законы устанавливаются теоретически или экспериментально посредством контроля двух достаточно представительных партий изделий, каждая из которых состоит соответственно из бездефектных и дефектных образцов. На основании зарегистрированной в процессе контроля совокупности х можно принять два решения (гипотезы):
- гипотеза Н0—совокупность х получена из выборки, подчиняющейся закону распределения и, следовательно, контролируемое изделие бездефектно;
- гипотеза Н1— совокупность х получена из выборки, подчиняющейся закону распределения и контролируемое изделие дефектно.
В соответствии с задачей обнаружения дефектов множество X следует разбить па два подмножества Хо и Х|. Изделие бракуется, если х попадает в область Χ1, и считается годным, если х принадлежит Х0. Таким образом, правило принятия решения о качестве контролируемого объекта (правило браковки) сводится к установлению границы между подмножествами Х0 и Х1. Эта граница представляет собой поверхность в «-мерной области X и называется решающей поверхностью.
Разбиение области X на Х0 и Х1 осуществляют в соответствии с различными правилами (критериями) принятия решений. Использование того или иного критерия определяется наличием априорной информации о контролируемых изделиях. В общем случае правило браковки представляют в виде соотношения [23]
(7.6)
где ∆(х)—универсальная характеристика, описывающая вероятность наличия дефекта, называемая отношением правдоподобия; ∆0 — его пороговое значение, определяемое используемым критерием принятия решения. Отношение правдоподобия содержит всю доступную информацию о наличии дефекта, которая появляется в результате проведения испытания. Зная ∆(х), можно найти вероятность наличия или отсутствия дефекта. При ∆(х)>∆0 принимается решение (гипотеза) Н1 о браковке изделия, при ∆(х)<∆0 — гипотеза Я0 о его годности. Соотношение Л(х)=Л0 описывает уравнение решающей поверхности в пространстве X.
При вынесении решения о дефектности изделий возможны ошибки двух видов. Ошибка первого рода (перебраковка) — браковка годного изделия, т. е. принятие гипотезы Н1, когда верна гипотеза Н0. Ошибка второго рода (недобраковка) — признание годным изделия, имеющего недопустимый дефект, т, е. принятие гипотезы Н0, когда справедлива гипотеза Н1.
Вероятности ошибок первого (pF) и второго (рМ) рода являются одними из основных показателей, характеризующих достоверность неразрушающих испытаний и, следовательно, эффективность используемого метода контроля. Значения вероятностей ошибок контроля первого и второго рода определяют по формулам:
(7.7)
Чтобы избежать трудностей, связанных с вычислением кратных интегралов в формулах (7.7), воспользуемся тем, что отношение правдоподобия, зависящее от случайного аргумента х, является случайной величиной, закон распределения которой определяется законом распределения х. Так как закон распределения последнего зависит от принятой гипотезы, то можно определить две функции — условные плотности вероятности распределения соответственно в случае справедливости гипотезы Н0 или Н1. Таким образом, осуществляется переход от N-мерных распределений х к одномерным для (х). Задача обнаружения дефекта при этом сводится к решению вопроса, какому из двух упомянутых законов распределения подчиняется отношение правдоподобия, рассчитанное по результатам испытаний, при этом вероятности ошибок контроля вычисляют по формулам:
(7.3)
Рассмотрим условия использования нескольких наиболее распространенных критериев принятия решений, а также методику расчета пороговых значений, соответствующих этим критериям.
1. Критерий идеального наблюдателя (Зигерта —Котельникова). Согласно этому критерию, порог выбирается таким образом, чтобы минимизировалась суммарная вероятность ошибок первого и второго рода. Использование критерия требует знания априорной вероятности р появления сигнала в отдельном акте обнаружения. Ее значение может быть получено на основании анализа данных контроля партии аналогичных изделий. Суммарная вероятность ошибок браковки составляет величину
которую необходимо минимизировать. В последнем выражении интегралы берутся по тем областям множества X, в которых принятое решение является ошибочным. Несложно показать, что минимум Рош достигается при выборе порогового значения
(7.9)
где q=l—р — априорная вероятность отсутствия сигнала в отдельном акте обнаружения.
2. Критерий Байеса. Этот критерий учитывает степень тяжести последствий, к которым приводят ошибки первого и второго рода. Последствия ошибок учитывают, приписывая им стоимостное значение. Пусть материальные потери из-за перебраковки изделия составляют Ппб из-за недобраковки—Пнб. Тогда можно ввести понятие среднего риска, обусловленного принятием решения о браковке (стоимостью принятия правильного решения, т. е. стоимостью контроля одного изделия, обычно пренебрегают):
(7.10)
Очевидно, что первый член определяет стоимость перебраковки, второй —недобраковки. Вероятности Рнб и Рпб выражаются через рм и рr (7.11), (7.12).
Критерий Байеса требует минимизации среднего риска, что приводит к выражению для определения порога обнаружения в виде
При таком значении порога риск рассчитывается по формуле (7.10). Нахождение значений Πнб и Ппб не всегда тривиально, особенно в случае, когда ошибка второго рода может иметь катастрофические социально значимые последствия.
Приведенный пример показывает, что дополнительная информация о стоимости потерь от неправильно выбранного решения при контроле позволяет более рационально подойти к определению браковочного уровня. Так, повышение порогового значения с 8 (по критерию Неймана — Пирсона) до 14 (по минимаксному критерию) существенно уменьшает вероятность отбраковки пригодных изделий Рм, несмотря на увеличение вероятности недобраковки (все еще остающейся пренебрежимо малой).
Рассмотренная методика расчета браковочного уровня и связанного с его выбором значения риска при контроле может быть применена и во многих других случаях пассивного акустического контроля, в частности при расчете АЭ-систем технологического и эксплуатационного контроля.
